Концептуальные и материальные основы системной методологии принятия решений (стр. 7 из 7)

Очевидно, из аксиомы Парето следует выполнение аксиомы 1, но не наоборот.

Лемма. Аксиома Парето является следствием аксиом 1 и 2.

Доказательство. Предположим, что для некоторых произвольно выбранных двух вариантов y′,y′′

Y выполняется соотношение y′

y′′ . Не уменьшая общности последующего рассмотрения, предположим, что выполнение y′

y′′ означает, что для некоторого 1

l

m справедливо

.

Благодаря аксиоме 2 имеем равенства:

,

,

………………………

.

Отсюда, последовательно применяя аксиому 1, получаем

. (2)

А так как

, k = l+1,...,m, то (2) принимает вид требуемого равенства Sel ({y′, y′′}) = {y′}.

10.4. Принцип Эджворта—Парето

Далее понадобятся два понятия, непосредственно связанные с множеством возможных вариантов Y .

Определение 3. Множество парето-оптимальных вариантов (множество Парето) обозначается P(Y) и определяется равенством:

P(Y) = {y*

Y| не существует y

Y, такого, что y

y*} .

Определение 4. Множество недоминируемых вариантов обозначим Ndom(Y) и определим равенством:

Ndom(Y) = {y*

Y| не существует y

Y, y ≠ y*, такого, что Sel ({y, y*}) = {y}}.

Теорема (принцип Эджворта—Парето). Для любой функции выбора Sel(

), подчиненной аксиомам 1–3, справедливо включение:

Sel(Y)

P(Y ) .

Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию выбора Sel (

), удовлетворяющую аксиомам 1–3.

Сначала установим справедливость включения:

Z-Sel (Y)

Ndom(Y).

С этой целью произвольно выберем вариант y′′

Sel (Y) и предположим противное: y′′

Ndom(Y). Тогда по определению 4 найдется такой вариант y′

Y , что y′ ≠ y′′ и Sel ({y′, y′′}) = {y′}. Благодаря аксиоме 3 последнее равенство влечет y′′

Sel (Y). Это противоречит начальному допущению y′′

Sel (Y). Таким образом, включение (4) доказано.

Теперь проверим включение

Ndom (Y)

P(Y).

Для этого произвольно выберем вариант y

Ndom (Y). Допустим противное: y

P(Y). Отсюда по определению 3 следует, что найдется такой вариант y′

Y , для которого верно соотношение y′

y. В условиях доказываемой теоремы благодаря лемме справедлива аксиома Парето. На основании этой аксиомы из соотношения y′

y вытекает равенство Sel ({y, y′}) = {y′} , причем y ≠ y′. Следовательно, y

Ndom (Y). Полученное не совместимо с начальным предположением y

Ndom (Y). Таким образом, включение (5) выполнено. Из (4)–(5) немедленно следует (3).

Теорема доказана.

Замечание. Как указано ранее, в (3) считается, что Sel(Y) ≠

.

Теорему 1 можно выразить следующим образом: произвольный выбор из множества возможных вариантов, подчиненный аксиомам 1–3, должен осуществляться в пределах множества Парето.

В целом требования, накладываемые аксиомами 1–3 на характер осуществляемого выбора, можно интерпретировать как разумное поведение лица, принимающего решение (ЛПР) в процессе выбора. Поэтому согласно доказанной теореме принцип Эджворта - Парето всегда выполняется, если поведение ЛПР разумно. А поскольку именно разумное поведение является наиболее распространенным, то этим обстоятельством можно объяснить чрезвычайно широкое и успешное применение «наивного» принципа Эджворта - Парето в принятии решений, теории игр, математической экономике и других областях, когда в любой задаче многокритериального выбора поиск наилучшего решения предлагается ограничить лишь пределами множества Парето.