Пауки, обитавшие в замке, затянули подвал паутиной. Когда однажды ветер
сорвал ее, они бросились ее восстанавливать: ведь замок держится на паутине!
В рамках метаматематики имеются различные течения. Одним из них является конструктивная математика, работающая с конструктивными объектами и конструктивными процессами и отвергающая в этих построениях закон исключенного третьего из-за его неконструктивности.
Конструктивный анализ существенно отличается от классического анализа, составляющего содержание курса высшей математики. Многие теоремы классического анализа не входят в конструктивный анализ. Особое внимание конструктивизм уделяет изучению алгоритмически неразрешимых проблем.
Нашествие теорий
Теорема Геделя предоставила возможность построения бесконечного дерева теорий за счет пополнения списков аксиом невыводимыми истинными утверждениями.
Теорема Левенгейма - Сколема обнаружила, что для порождения неэквивалентных теорий не требуется расширения списка аксиом: существуют неизоморфные интерпретации одной и той же системы аксиом, в том числе аксиом арифметики.
Если в XIX веке мы столкнулись с несколькими геометриями, то в ХХ веке мы оказались уже перед несколькими математиками.
Доказательство сегодня
Теорема о возможности раскраски вершин плоского графа четырьмя красками доказана в 1977 году программой, исчислявшей доказательство в течение многих сотен часов. Позднейшие программы на новейших компьютерах "доказывают" быстрее.
Проблема понимания
Формализованный язык в отличие от обыденного языка выполняет не коммуникативную, а модельную функцию. Именно поэтому обречены на неуспех любые попытки "понять" текст на формализованном научном языке путем "перевода" на обыденный - конкретный - язык. Источником таких неудач является не "переводимый" текст, а невежество "переводчика".
Языковая модель становится частью мира человека и тем самым - объектом изучения, изучения с помощью нового языка, выступающего по отношению к изучаемому языку как метаязык. Так возникает лестница языков, иерархическая система формализованных языков.
Лейбниц всю жизнь разрабатывал универсальную характеристику - исчисление, которое позволило бы точно выразить любую ясную мысль и заменить спор об истинности утверждения вычислением функции истинности, свести логику к вычислению.
Резюме
В атмосфере культа силы и насилия древние греки изобрели Олимпийские игры, логику, риторику, философию. Греки оставили нам:
самую лицемерную форму политического насилия - демократию,
самые изощренные формы эмоционального насилия - поэзию, музыку и театр,
высшую форму интеллектуального насилия - математику.
Современное образование - во власти аксиоматической диктатуры Евклида и компьютерного шаманизма. Математика - самое эффективное оружие массового поражения интеллекта и дедуктивного террора. По иронии судьбы на древе познания именно на математической ветви созрело ядовитое геделево яблоко неполноты. Греки сделали свое дело, а мы не можем уйти.
Крушение человеческого стремления достичь всеобъемлющего совершенства в доказательстве - одно из многих крушений человеческих надежд. Достаточно напомнить о надеждах на справедливость, равноправие, на гармонию личности и общества, человека и природы.