прf 1
----- = --- , (1)
[s] T
где прf - предельная плановая невязка полигонометрического хода, [s] - периметр хода, 1/T - относительная ошибка хода.
Предельная невязка связана с предельной ошибкой следующим образом:
2M = прf , (1а)
откуда следует следующая формула:
[s]
M = ----- , (1б)
2Т
где 2T равно 50000, так как относительная ошибка полигонометрического хода 4 класса задается как 1/25000.
Величина M составила 0.133 метра. При оценке точности полигонометрического хода произвольной формы известна формула средней квадратической ошибки положения конечного пункта хода до уравнивания:
m
M = [m ] + --- [Dцi] , p
где m - средняя квадратическая ошибка измерения сторон хода, m
- средняя квадратическая ошибка измерения углов по ходу и Dцi - расстояния от центра тяжести хода до i-того угла.
Применив к данной формуле принцип равных влияний, получим соотношения, которые можно использовать для расчета ходов:
M = 2 [m ] (*)
и m
M = 2 --- [Dцi] . (**)
p
Сперва рассчитывалось влияние ошибок линейных измерений. Поскольку ошибка измерения расстояния светодальномером не сильно зависит от самого расстояния (в пределах длин сторон от 0.5 до 1.5 км), можно считать, что:
[m ] = m n ,
где m - ошибка измерения стороны средней длины, а n - число сторон в ходе, и, следовательно (*) преобразуется к следующему виду:
M
m = ----- . (2)
2 n
Подставляя конкретные значения M = 0.133 метра и n = 10, получаем среднее влияние ошибки линейных измерений m = 30 мм.
По данному значению ошибки можно выбрать прибор (светодальномер), который обеспечит заданную точность. Как видно из таблицы #3, светодальномер СТ5 "Блеск" полностью обеспечивает данную точность измерения линий. Его средняя квадратическая ошибка измерения линий рассчитывается по формуле m (мм) = 10 + 5/км, поэтому даже при максимальной длине стороны в 2 км, ошибка не превзойдет 20 мм, таким образом этот светодальномер не только обеспечивает заданную точность измерения, но и создает некий "запас" этой точности.
Измерять расстояния необходимо как минимум при трех наведениях светодальномера на отражатель с контролем на дополнительной частоте.
Для уточнения значений постоянных светодальномера, а именно постоянных приемо-передатчика и отражателя на ровной местности выбирают базис длиной 200 - 300 метров. В качестве базиса можно использовать одну из сторон второго полигонометрического хода (она обозначена на кальке двойной линией).
Базис измеряется базисным прибором БП-3 с относительной ошибкой не менее 1/50000. При самых неблагоприятных условиях, когда источники ошибок имеют систематический характер влияния на результаты измерений, предельные ошибки одного источника рассчитываются по следующим формулам.
Предельная ошибка компарирования мерного прибора: l
пр l = ------- ,
5.3 T
где l - длина мерного прибора (инварной проволоки), T - знаменатель относительной ошибки измерения базиса.
Подставив конкретные значения, получаем, что пр l составляет
0.09 мм.
Предельная ошибка уложения мерного прибора в створе измеряемой линии:
l
пр = l -------- .
10.6 T
Получено, что ошибка уложения в створ не должна превосходить величины 30 мм, то есть штативы в створ необходимо устанавливать теодолитом, входящим в базисный комплект.
Предельная ошибка определения превышения одного конца мерного прибора над другим:
l
пр h = --------- n' ,
h 5.3 T
где h - среднее превышение одного конца мерного прибора над другим, n' - число уложений мерного прибора в створе линии.
По карте было измерена длина проектируемого базиса - 275 метров, и превышение одного его конца над другим - 2.5 метра. Откуда, число уложений мерного прибора в створе базиса 12, а среднее превышение, приходящееся на один пролет 0.21 м.
Рассчитанная по формуле ошибка определения превышения одного конца мерного прибора над другим не должна превосходить предельного значения в 36 мм. Таким образом, достаточно определять превышения техническим нивелированием.
Для этих целей подойдет любой нивелир, например, 2Н-10КЛ, обладающий компенсатором и прямым изображением; эти достоинства нивелира позволяют сделать труд нивелировщика более производительным. Технические характеристики этого нивелира приводятся в таблице #6.
Предельная ошибка определения температуры мерного прибора:
1
пр t = --------- ,
5.3 T a
где a - коэффициент линейного расширения инвара 0.5E-6.
Данная формула дает значение предельной ошибки равное 8 C. Поэтому можно определить температуру мерного прибора всего 2 раза - в начале измерения и в его конце.
Предельная ошибка натяжения мерного прибора рассчитывается по формуле:
w E
пр F = ------- ,
5.3 T
где w - площадь поперечного сечения проволоки 1.65 мм, E - модуль упругости инвара 16000 кГс/мм.
Получено значение предельной ошибки натяжения мерного прибора равное 100 г.
Точность натяжения гирями - 20 - 50 г, а динамометром - 150 - 300 г. Таким образом, для натяжения прибора должны использоваться гири.
Далее необходимо рассчитать влияние ошибок угловых измерений. В формулу (**) входит [Dцi] - то есть сумма квадратов расстояний от центра тяжести хода до каждого угла. Следовательно, требуется найти центр тяжести хода.
Есть 2 способа его определения - графический и аналитический. Аналитический используется при известных координатах всех пунктов хода, а для графического способа достаточно изображения хода в масштабе. Поэтому в данной работе используется графический способ определения центра тяжести. Для этого используют известное правило механики о сложении параллельных одинаково направленных сил. Процесс определения центра тяжести хода показан на рис. #8.
После нахождения центра тяжести хода были измерены расстояния от него до всех углов хода и была получена сумма их квадратов (таблица #4).
Формула для расчета влияния ошибки измерения углов (**) преобразуется в следующее выражение:
M p
m = ------- . (3)
2 [Dцi]
Откуда получается, что для обеспечения заданной точности хода средняя квадратическая ошибка измерения одного угла не должна превышать 3".
Такую точность обеспечивает теодолит серии Т2, например 3Т2КП. Технические характеристики этого теодолита представлены в таблице #5.
Следует отметить способы измерения углов. На пунктах триангуляции углы рекомендуется измерять способом круговых приемов, если необходимо отнаблюдать несколько направлений, те же рекомендации справедливы и для засечек. Сущность способа круговых приемов состоит в следующем.
С пункта наблюдения выбираются начальное направление с хорошей видимостью. Установив теодолит, при круге лево последовательно визируют на пункты A, B, C, и т.д., вращая алидаду теодолита по ходу часовой стрелки и делая при каждом визировании отсчеты, которые записывают в журнал. Заканчивают наблюдение вторичным визированием на начальный пункт, отсчет также записывают в журнал. Это повторное наблюдение на пункт, принятый за начальный, называемое замыканием горизонта, производят для того, чтобы убедиться в неподвижности лимба в процессе измерения. По инструкции величина расхождения при замыкании горизонта не должна превосходить 7 секунд для полигонометрии 4 класса. Описанные действия составляют один полуприем. После этого переводят трубу через зенит и вновь производят наблюдения на пункты начиная с начального, но в обратной последовательности, вращая алидаду против часовой стрелки.
Если на пункте необходимо отнаблюдать только два направления, пользуются методом отдельного угла. Порядок наблюдений при этом остается таким же, с отличиями: не визируют повторно на начальный пункт; алидаду вращают как в первом, так и во втором полуприемах только по часовой стрелке или только против часовой стрелки. Два полуприема измерения направлений составляют один полный прием.
На пунктах полигонометрии при проложении ходов углы измеряются способом круговых приемов по трехштативной системе - такая система измерения углов позволяет уменьшить ошибки центрирования и редукции. Суть ее в следующем.
Ось вращения теодолита при установке его над центром знака должна занимать в пространстве такое же положение, которое занимала ось вращения марки до и после установки теодолита. Для выполнения этого условия в трех соседних вершинах полигонометрического хода устанавливают три штатива с закрепленными на них подставками. На на заднем (A) и переднем (C) штативе устанавливаются марки, а на среднем (B) - теодолит. После измерения штатив с маркой (A) переносят через две точки - на следующую после C точку (D), а два других штатива (B) и (C) остаются на месте. Марку, стоявшую в точке A, переставляют на штатив в точке B, теодолит переставляют на штатив в точке C, а марку, стоявшую в точке C, переставляют на штатив в точке D. Таким же образом измеряют и все последующие углы в ходе.
Кроме того, можно вести одновременно с угловыми - линейные измерения, то есть после измерения угла необходимо поставить на средний штатив светодальномер, а на два других - отражатели.
Величина средней квадратической ошибки измеренного угла m содержит влияние ряда источников ошибок: редукции, центрирования, инструментальных, собственно измерений и внешних условий. На основании принципа равных влияний средняя квадратическая ошибка за один источник может быть вычислена по формуле:
m
mi = --- , (4)
5
откуда вытекает, что в данном случае ее величина составляет
1.3".
Линейные элементы ошибок центрирования и редукции вычисляются по формулам:
m
e = ----- S min ,
p 2
и
m
e = --- S min ,
p
где e и e есть линейные элементы центрирования и редукции, m и m - средние квадратические ошибки за центрирование и редукцию, S - расстояние, для которого рассчитывается данное влияние; очевидно, что наибольшее влияние редукции скажется на коротких расстояниях - поэтому в расчетах берется длина минимальной стороны хода.