Смекни!
smekni.com

Обобщенный принцип наименьшего действия (стр. 2 из 3)

Будем решать вариационную задачу для функционалов с разрывным интегрантом, зависящих от линейных интегральных операторов

(2.1)

где h(t) - экстремаль, относительно которой предполагаем, что

.

Функционал качества I может зависеть от нескольких операторов

(2.2)

где F[T ]- интегрант, определяющий связь (композицию) операторов F i в функционале I. Интегрант F[T ] может быть непрерывным, гладким, негладким и даже континуально многозначным или разрывным.

Оптимизации методами негладкого анализа посвящена монография Френка Кларка [3], но методику Кларка применить к функционалам, зависящим от интегральных операторов, нельзя, как нельзя ее применять и для функционалов с континуально многозначным или разрывным интегрантом. Кроме того, экстремали у Кларка предполагаются абсолютно непрерывными. Все это несколько сужает область применения негладкой оптимизации Кларка - теории, впитавшей в себя достижения его предшественников, на кoторых он ссылается в своей монографии. Поскольку оптимизируемый функционал зависит от интегральных операторов, метод, использованный в монографии [5], неприменим тоже. В то же время для решения сформулированной задачи достаточно методов вариационного исчисления, теории обобщенных функций и теоремы Фубини [8], поэтому будем поступать так.

Негладкий, континуально многозначный или разрывной интегрант можно представить с помощью функции включения H(x) (1.2) или ее производных, т.е. d -функции (1.5) и ее производных, используя их фильтрующие свойства. При варьировании функционала I все производные будем понимать в обобщенном смысле

.

Заметим, что этот интеграл теперь имеет математический и физический смыл, а не является "просто символом", как при классическом определении d -функции.

По общему правилу [9-12] введем однопараметрическое семейство кривых

, где d h(t)-произвольная функция из Lp[a,b], a - малый параметр. Подставляя
в операторы (2.1), а операторы (2.1) в функционал (2.2) и дифференцируя I по a , получим вариацию функционала d I и приравняем ее нулю:

(2.3)

Теперь, чтобы получить необходимое условие экстремума, надо исключить произвольную функцию из вариации функционала d I. В классическом вариационном исчислении это делается с помощью интегрирования по частям, которое в данном случае неприменимо. Полагая, что к вариации d I применима теорема Фубини [8], одним из условий применимости которой может быть суммируемость произведений

изменим в формуле (2.3) порядок интегрирования [10, 11]

(2.4)

Используя основную лемму вариационного исчисления в формулировке Л.Янга [7], получим аналог уравнения Эйлера для функционалов с континуально многозначным или разрывным интегрантом, зависящих от линейных интегральных операторов, действующих на экстремаль,

(2.5)

Следствие. Если воспользоваться фильтрующим свойством d -функции и ее производных, и обозначить ядра операторов (2.1) через Ki(x,t)=d (i)(x-t), то уравнение (2.5) примет вид уравнения Эйлера

(2.6)

простейшей вариационной задачи [12], но для функционалов с континуально многозначным или разрывным интегрантом

(2.7)

зависящих от искомой функции h(t) и ее производных h(i)(t).

Пример. Задача Дидоны с канавой. В распоряжении царевны имеется веревка заданной длины L, которой следует ограничить участок побережья, причем береговая черта представляется линией x=0 на плоскости Оtx (Рис.2). При этом надо найти кривую длины L, лежащую в полуплоскости

, соединяющую точки (-1,0) и (1,0), такую что площадь между кривой и осью t максимальна.

Стремясь иметь для примера негладкий интегрант, Кларк модифицировал [3, с.178] задачу Дидоны следующим образом. Он полагает, что для некоторого a >0 земля в области x>a худшего качества и доход с нее составляет только половину дохода с земли в области x<a .

Рис.2. Участок Дидоны с канавой

Доход Д с огороженного участка, ограниченного кривой x(t), равен

(П.1)

где gn[x(t)] = {x(t), если

; (x+a )/2, если
} .Следует максимизировать значение дохода Д (интеграла (П.1)) при наличии ограничений

(П.2)

. (П.3)

Далее Кларк использует методы негладкого анализа для решения модифицированной задачи Дидоны. Применение этих методов ограничивается негладкими интегрантами и абсолютно непрерывными экстремалями.

Для частичной иллюстрации возможностей предложенного нами метода решения задач с разрывным интегрантом будем полагать, что участок Дидоны параллельно береговой линии пересекает канава шириной b -a . Один берег канавы проходит по линии x(t)=a ., а другой - по линии x(t)=b . Участок канавы, ограниченный берегами и веревкой (рис.2), никакого дохода не приносит, и интегрант выглядит так:

(П.4)

Веревка ограничивает канаву, пересекая ее, но разорвать веревку Дидона не может, поэтому изопериметрическое условие (П.3) остается в силе. Требуется максимизировать доход с участка, расположенного по берегам канавы, ограниченного береговой линией и веревкой.

Представим g[x(t)] с помощью единичной функции включения (1.2) в виде

В уравнение Эйлера простейшей вариационной задачи (2.6) входят производные интегранта по x и по

. Вычислим эту производную

Производя сокращения и учитывая свойства d -функции [7], находим

или

(П.5)

С учетом изопериметрического условия (П.3), получим дифференциальное уравнение для экстремали

(П.6)

где l - неопределенный пока множитель Лагранжа [7].

Уравнение (П.6) при

и ограничениях (П.2) имеет интегралом окружность

(П.7)

где C = ¦ (l 2 /a2-1)1/2, симметрично расположенную относительно оси Оx (рис.2). Выразим длину веревки Дидоны через параметры задачи a , b , g и неизвестный коэффициент l .

В горизонтальной полосе 0<x<a

и центр соответствующей окружности располагается ниже оси Оt (иначе интегральные дуги
окажутся вне вертикальной полосы -1<t<1), откуда для длины
дуги получим

(П.8)

При x>b и

при отыскании максимума функционала (П.1) в случае g >1 (или g <1) центр окружности, содержащей интегральную дугу
, будет расположен выше (или ниже) оси Оt. Для длины дуги
получим

(П.9)

В полосе a <x<b

и интегральная линия имеет вид отрезков прямой
, соединяющей концы дуг
и
с концами дуги
. При разных значениях параметра g может быть разная ориентировка этих отрезков. В частности, они могут быть параллельны оси Оy (
)или наклонены. Длина отрезка
определяется выражением