Используя разбор задачи от данных к вопросу, дети легко получили решение, рассуждая следующим образом: «Зная, что в зале 8 рядов по 12 стульев в каждом ряду, найдем, сколько всего стульев в зале: 12×8=96. Теперь определим, сколько стульев будет занято, т. е. узнаем, сколько учеников в двух классах. Столько же будет занято и стульев: 42×2= 84. Сравним теперь число всех стульев - 96 и число стульев, которые займут ученики двух классов, - 84. 96>84, значит, стульев хватит. 96—84=12. 12 стульев останутся незанятыми».
Чтобы отыскать другие способы решения, я предложила детям представить, как могли ученики двух классов войти в зал и в соответствии с этим дополнить условие задачи. Рассуждая, сопоставляя, дети отыскали три способа решения. И эти три способа записали в тетрадь:
II способ
1) 2.8=96
2) 96-42=54
3) 54—42=12
О т в е т. 12 стульев останутся незанятыми.
Вначале свои места заняли ученики одного класса, а затем другого.
III способ
Всех учащихся рассадили так, чтобы все места в ряду были заняты, т. е. в каждом ряду было по 12 человек:
1) 42×2=84 — места займут ученики двух классов;
2) 84:12= 7 — рядов займут ученики двух классов;
3) 8-7= 1 — ряд или 12 стульев останутся незанятыми.
Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.
IV способ
Стулья в зале распределили поровну между классами, т. е. по 48. Поэтому сначала узнаем, сколько незанятых стульев осталось у каждого класса.
1) 12×8== 96 — всего стульев в зале;
2) 96:2=48—стульев для каждого класса;
3) 48-42== 6 — незанятых стульев у каждого класса;
4) 6•2== 12 — всего незанятых стульев. Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.
Дети были удивлены, что задача имеет столько способов решения, и довольны, что нашли их. Но когда я сказала, что эта задача имеет еще столько же и даже больше решений, удивлению не было границ. Ребятам захотелось тут же отыскать их, но поскольку урок подходил к концу, они попросили остаться после уроков, чтобы в тот же день попытаться выявить все способы.
На этом дополнительном занятии опиралась на способных ребят, вовлекала их в самостоятельный поиск, предлагая им представить, как еще можно рассадить учеников: чтобы все ряды заполнялись учениками равномерно и каждый ряд был хотя бы частично занят; чтобы все места в рядах были заняты; чтобы оба класса рассаживались одновременно; рассаживались порознь; чтобы для каждого класса выделялось поровну мест в зале или поровну (по 6) в каждом ряду
Чтобы дети лучше могли представить все ситуации, на доске нарисовали 8 рядов, по 12 кружков в каждом ряду.
Вот какие решения мы нашли, причем некоторые способы отыскали сами дети.
V способ
1) 42:12=3 (ост. 6)—3 ряда занято, оставшихся 6 учеников посадили в 4-й ряд;
2) 12-6= 6 —учеников из другого класса тоже посадили в 4-й ряд;
3) 42-6= 36 — учеников остается посадить на другие ряды;
4) 36:12=3 —еще 3 ряда займут ученики другого класса;
5) 4+3= 7—рядов занято;
6) 8-7 = 1 — ряд или 12 стульев не заняты.
Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.
VI способ
1) 42:12=3 (ост. 6)—3 ряда занято, 6 учеников не посажено;
2) 42+6== 48—учеников осталось посадить;
3) 48:12== 4—ряда займут оставшиеся ученики;
4) 4+3== 7—рядов занято;
5) 8-7= 1 — ряд или 12 стульев не занято.
VII способ
1) 8:2== 4 — ряда для каждого класса;
2) 12 • 4= 48 — стульев выделили для каждого класса;
3) 48-42== 6—стульев остается незанятыми в каждой части зала, выделенной каждому классу;
4) 6-2== 12—стульев останутся незанятыми.
VIII способ
1) 42×2= 84—ученика нужно посадить;;
2) 84:8== 10 (ост. 4) — 10 учеников вкаждом ряду и 4 учеников пока не посадили, если будем сажать поровну на каждый ряд;
3) 12-10== 2 — по 2 стула осталось незанятыми в каждом ряду;
4) 2-8== 16—всего 16 стульев осталось после того, как рассадили по 10 учеников в каждом ряду;
5) 16-4== 12 — стульев остались незанятыми, после того как 4 оставшихся учеников посадили на места из оставшихся 16;
IX способ
1) 12-8== 96—всего стульев в зале;
2) 96:42=2 (ост. 12)—2 класса можно посадить и 12 мест останутся незанятыми.
Х способ
1) 12:2=6 — по 6 стульев в ряду выделили для класса, если будем рассаживать на каждый ряд поровну учеников из одного и другого класса;
2) 42:6== 7 —рядов займет каждый класс;
3) 8—7== 1 — ряд или 12 стульев останутся незанятыми
Дети просто были потрясены таким обилием способов. И поскольку ситуация задачи несложна для представления (тем более что на рисунке на доске показывали, как они «рассаживают» учеников), записывали мы только некоторые способы с самой короткой записью. Остальные выполняли устно с показом на рисунке, определяли самый рациональный способ.
Потом оказалось, что эта задача имеет еще по крайней мере, четыре способа решения. Приведем один из них.
XI способ
1) 42-2 ==84—ученика в двух классах и 84 стула нужно для всех;
2) 96:84= 1 (ост. 12) — 1 раз по 84 стула содержится в зале и 12 стульев останутся незанятыми.
Работа по отысканию разных способов решения задач так заинтересовала детей, что если даже на уроке не планировалось решение задач несколькими способами, учащиеся самостоятельно находили их. Всегда были дети, которые стремились решить задачу нетрадиционным способом.
Рассмотрим несколько задач, решаемых по системе Л.В.Занкова арифметическим и алгебраическим способом:
Задача №1
"Из 560 листов бумаги сделали 60 тетрадей двух сортов. На каждую тетрадь первого сорта расходовали по 8 листов, а на каждую тетрадь второго сорта - по 12 листов. Сколько сделали тетрадей каждого сорта?" К задаче даны два указания:
1. Решить задачу алгебраическим способом.
2. Предложить свое задание к задаче.
Следуя указанию учебника, учитель подводит учащихся к составлению уравнения, рассуждая примерно так: "Обозначим буквой х - число тетрадей первого сорта, тогда тетрадей второго сорта будет (60 - х). Известно, что на тетрадь первого сорта расходовали 8 листов, значит, (8х) листов расходовали на тетради первого сорта. На тетрадь второго сорта расходовали 12 листов. Следовательно, на тетради второго сорта израсходовано 12 (60-х) листов. Теперь можно найти, сколько всего листов израсходовано:
(8х + 12 (60-х), а это по условию равно 560. Составим уравнение: 8х + 12 (60 - х) = 560. Используя дистрибутивный закон (правило умножения числа на разность), дети записывают уравнение: 8х + 720 - 12х = 560.
И если составление уравнения не вызывает затруднений у учащихся, то при его решении возникают определенные трудности.
Действительно, действия с отрицательными числами будут изучаться позднее, а решение требует выполнения операций над ними.
Приведем образец решения уравнений.
8х+ 12 (60-х) =560
8х+720-12х=560
8х + 720 - 720 - 12х = 560 - 720 (из обеих частей уравнения вычли по 720)
8х- 12х =-160
(8 - 12)х = - 160 (применили дистрибутивный закон умножения относительно вычитания, вынесли неизвестное число х за скобки)
-4х=-160
х=(-160):(-4)
х=40
Итак, чтобы найти неизвестное число, нужно обе части уравнения разделить на (- 4), т.е. необходимо провести операции с отрицательными числами, а понятие об отрицательном числе будет изучаться позднее.
Чтобы избежать этого, учитель может попытаться решить это уравнение следующим образом:
8х+ 12(60-х)=560
8х+720- 12х =560
8х+720+12х-12х=560+12х прибавим 12х
8х+720=560+ 12х
8х - 8х + 720 = 560 + 12х - 8х вычитаем из обеих частей 8х
720 = 560 + (12 - 8)х выносим за скобки х
720 - 560 = 560 - 560 + 4х вычитаем из обеих частей 560
160=4х
х= 160:4
х=40
Согласитесь, что подобные рассуждения слишком громоздки и затруднительны. Зная это, учитель подводит учащихся к другому уравнению, решение которого легче и понятнее детям. Рассуждения примерно таковы: "Пусть х - число тетрадей второго сорта. Тогда (60-х) - число тетрадей первого сорта. На тетради второго сорта пошло 12х листов, а на тетради первого -8 (60 - х) листов. На все тетради пошло 12х + 8 (60 - х) листов бумаги. По условию задачи это равно 560 листам". Составляем уравнение:
12х+8 (60-х) =560
12х+480-8х=560
12х-8х =560-480
(12-8)х=80
4х=80
х = 80 : 4
х=20
Ответ: 20 тетрадей второго сорта, 40 тетрадей первого сорта (60 - 20 = 40).
Рассуждения учителя и учащихся могут быть примерно такими: "Предположим, что все тетради были тетрадями первого сорта. Тогда потребовалось бы 8 • 60 = 480 листов бумаги. Но в условии задачи сказано, что пошло 560 листов, т.е. израсходовано больше, чем предположили, на 80 листов (560 - 480 = 80) за счет того, что были тетради другого сорта, на которые шло по 12 листов. На одну тетрадь второго сорта расходовали больше на 4 листа. Итак, на все тетради второго сорта израсходовали на 80 листов больше, а на каждую тетрадь - на 4 листа больше. Это значит, тетрадей второго сорта будет столько, сколько раз укладывается 4 в числе 80: 80:4 = 20 (тетрадей). Чтобы найти число тетрадей первого сорта, нужно из 60 вычесть 20". Затем записывается решение задачи:
1)80-60=480
2) 560 - 480 = 80
3) 12-8=4
4) 80 : 4 = 20
5) 60 - 20 = 40
Второй арифметический способ решения основан на предположении, что все тетради были второго сорта.
Аналогичные рассуждения приводят к решению:
1) 12 • 60 = 720 тетрадей
2) 720 - 560 = 160 тетрадей
3) 12-8 =4 тетради
4) 160 : 4 = 40 тетрадей
5) 60 - 40 = 20 тетрадей \
Ответ: 40 тетрадей первого сорта, 20 тетрадей второго сорта.
Возможны и другие способы решения задачи. Например:
1) 12.60=720
2)720-560= 160
3)12-8=4
4) 160:4=40
5) 8 • 40 = 320
6)560 - 320 = 240
7)240: 12=20
Задача №2
«На запасных путях стояло 2 железнодорожных состава. В первом составе было на 12 вагонов больше, чем во втором. Когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, в первом оказалось в 4 раза больше вагонов, чем во втором. Сколько вагонов было в каждом составе?»
К данной задаче даны три указания: 1) решить задачу алгебраически; 2) найти среди решенных раньше задач похожую на данную решением; 3) составь свою задачу, которая будет иметь такое же решение.
При решении задачи алгебраическим способом учащиеся обозначают буквой х - число вагонов в первом составе, тогда во втором составе число вагонов (х - 12). В задаче сказано, что от каждого состава отцепили по 6 вагонов. Во втором составе оказалось (х - 18) вагонов, а в первом (х - 6) вагонов. В первом составе в 4 раза больше вагонов, чем во втором.