Активізація пізнавальної діяльності учнів в процесі навчання математики (стр. 10 из 21)
Сформованість вмінь учнів дев’ятого класу розв‘язувати квадратні рівняння дає змогу розв’язувати задачі, які показують можливе використання послуг банку для власного планування грошових витрат. Це можуть бути, наприклад, задачі такого змісту.
Задача 4. На початку року є можливість внести в банк на рахунок 1640 гривень, але в кінці року треба зняти з рахунку 882 гривні, а через рік знову - 882 гривні. Під який відсоток потрібно внести гроші в банк, щоб вказані операції відбулися?
Початкова робота з даними цієї задачі потребує повторення фінансових понять – початковий вклад, відсоткові гроші, відсоток та прибуток.
Математичні залежності між цими величинами дають можливість пояснити данні задачі у вигляді тверджень: 1640 грн. – початковий вклад для першого року. Нехай х % - щорічні відсоткові нарахування банку. Тоді на кінець року банк нарахував (0,01х×1640) грн., і на рахунку стало
(1 640 + 0,01х × 1 640) грн. або (1 640 × (1 + 0,01х)) грн.
На початку другого року вклад становив
(1 640 × (1 + 0,01х) - 882) грн.
На цю суму було нараховані (0,01х × (1 640 × (1 + 0,01х) - 882)) грн. - відсоткові гроші, а сума, яка була на рахунку на кінець другого року, становила ((1 640 × (1 + 0,01х) - 882) + 0,01х × (1 640 × (1 + 0,01х) - 882)) грн., або ((1640(1+0,01х)-882)(1+0,01х)) грн., що за умовою задачі дорівнює 882 грн.
Отримаємо рівняння:
(1640 × (1 + 0,01х) - 882)(1 + 0,01х) = 882.
Введемо нову змінну у = 1 + 0,01х. Тоді рівняння має вигляд:
(1640у - 882) × у = 882;
1640у2 - 882у - 882 = 0;
820у2 - 441у - 441 = 0.
Розв‘язуючи отримане квадратне рівняння, знаходимо:
Повертаючись до змінної х, зазначаємо, що значення у1 не задовольняє умову задачі. Тому 1 + 0,01х =
, а х = 5 (%).Відповідь: 5%.
Методика розв’язування таких задач, як бачимо, традиційна. Це забезпечує успіх у їх використанні. Одночасно з удосконаленням вмінь розв’язувати квадратні рівняння учні здобувають первинні фінансові знання та з’ясовують для себе питання “вдалого” вкладу. Вони шукають найкращий варіант для збереження грошей – можливість отримати потрібний прибуток із певної кількості грошей.
Крім цього учні отримують інформацію і про те, що депозитний вклад - це кошти в готівковій або у безготівковій формі, у валюті України або в іноземній валюті, які розміщені клієнтами на їх іменних рахунках у банку на договірних засадах на визначений строк зберігання або без зазначення такого строку і підлягають виплаті вкладнику відповідно до законодавства України та умов договору [20].
Дуже часто банки пропонують різні види депозитного вкладу. Ознайомлення учнів із особливостями вкладів на депозитний рахунок, як показав експеримент, можна здійснити на уроці математики в 9класі під час вивчення теми “Відсоткові розрахунки”. Для цього учням у ході експерименту було запропоноване попереднє домашнє завдання, яке полягало в знаходженні різних умов вкладів до банків. На уроці було визначено як краще вкласти 1000 гривень на один рік. Кожен учень рахував прибуток, який буде отриманий за один рік, якщо всі гроші відразу покласти до банку та отримувати відсоткові гроші а)щомісяця, б) в кінці дії договору, та якщо вклад поповнювати через певні проміжки часу, наприклад щомісяця або щоквартально. Цікавим прикладом була пропозиція одного з банків про вклад “дитячий”, де банком, крім запропонованих відсоткових грошей, пропонувалась премія при закритті рахунку в термін, обумовлений договором, яка обчислювалась як сума відсоткового доходу, помножена на відсоток, що дорівнює середньому балу успішності.
Таким чином, учні мають можливість познайомитись із особливостями депозитних вкладів у банках та спробувати самостійно здійснити розрахунки кількості власних грошей, які можуть бути покладені на депозитний рахунок.
Різні умови вкладів дають можливість застосовувати фінансові операції, навіть на етапі мотивації вивчення нового матеріалу на уроці. Так, у дев’ятому класі ознайомлення учнів із використанням геометричної прогресії ми провели на прикладі вкладу з обов’язковим поповненням.
Задача 5. Обчислити суму вкладу та прибуток, якщо банк пропонує умови вкладу, відображені в таблиці 2.1, а вкладник планує покласти 1000 гривень на два роки з поповненням по 1000 гривень щоквартально.
Таблиця 2.1
Основні умови вкладу (до задачі)
| Мінімальна сума вкладу | 500 гривень | |||
| Мінімальна сума поповнення | 100 гривень | |||
| Дохідність ( %, річні) | 6 місяців | 9 місяців | Більше 13 місяців | |
| До 10000 грн. | 10 % | 11 % | 12 % | |
| Більше 10000 грн. | 12 % | 13 % | 15,5 % | |
| Нарахування відсотків | Щоквартально | |||
| Обов’язкове поповнення | Кожні три місяця | |||
Це задача із зайвими даними. Учні, в першу чергу, повинні прийняти правильне рішення щодо виконання умов банку. Таким чином, для роботи маємо такі данні:
· Термін дії договору – два роки,
· Сума вкладу – 1000 гривень із щоквартальним поповненням у 1000 гривень,
· Відсоток банку – 12 % щорічно, або 12 : 4 = 3 % щоквартально.
Ці данні можуть бути зображені за допомогою мал.2.2 та продемонстровані учням за допомогою кодоскопа.
Мал. 2.2. Виконання умов договору (до задачі)
Аналіз мал.2.2 повинен включати визначення етапів нарахування відсотків. Маємо таку схему нарахування грошей:
· на останній внесок відсотки нараховується лише один раз, тому з цього внеску вкладник буде мати на кінець дії договору:
1000 + 1000 × 0,03 = 1000 × (1 + 0,03) = 1000 × 1,03;
на шостий внесок (передостанній) відсотки нараховуються два рази, тому з цих грошей на кінець дії договору:
1000 + 1000 × 0,03 + (1000 + 1000 × 0,03) × 0,03 =
1000×(1 + 0,03) + 1000×(1 + 0,03)×0,03 = 1000×(1 + 0,03)(1 + 0,03) = 1000×1,032;
· з п’ятого внеску – 1000 × 1,033, бо відсотки нараховувались три рази;
· ...
· з першого внеску – 1000 × 1,038.
Отримали геометричну прогресію, у якої знаменник дорівнює q = 1,03, перший член (останній внесок) b1= 1000, а кількість членів n =8.
Таким чином, вкладник у кінці дії договору має таку суму грошей:
S =1000×1,03 + 1000×1,032 + 1000×1,033 +...+ 1000 × 1,038.
Для обчислення значення цього виразу скористаємось формулою суми геометричної прогресії:
= 8 892,34 (грн.).Після обчислення значення отриманого виразу, учнів потрібно ознайомити з фінансовими термінами, які використовувались для отримання результату, а саме:
· ануїтет - послідовність однакових внесків, зроблених через рівні проміжки часу,
· інтервал сплати – проміжок часу між двома послідовними платежами,
· строк ануїтету – час, від першого до останнього платежу.
Робота з такими даними показує учням застосування властивостей геометричної прогресії в банківських розрахунках.
При подальшому вивченні властивостей геометричної прогресії може бути розглянута проблемна задача, яка показує діяльність системи банків у нашій державі.
Задача 6. Вклади населення України в комерційних банках з 1995 року в національній валюті кожного року збільшуються приблизно в 2 рази, а у іноземній валюті – в 1,5 рази. В 1995 році вклади населення в комерційних банках в національній валюті становили 505 млн. грн., а в іноземній – 111 млн. грн. Чи буде загальна кількість вкладів утворювати геометричну прогресію, і якщо так, то який у неї буде знаменник?
Розглянемо один з можливих варіантів її розв’язання. Пропонуємо учням заповнити таблицю 2.2 наближених даних по вкладам населення України в комерційних банках з 1995 до 2000 року.
Таблица 2.2
Вклади населення України в комерційні банки, млн. грн.
| 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 |
| В національній валюті | 505 | ||||
| В комерційній валюті | 111 | ||||
| Всього |
Для інтенсифікації роботи учнів доцільно заготувати шаблон таблиці та роздати до початку роботи. При цьому початкові данні таблиці можуть мати певні розбіжності, оскільки данні задачі є наближеними до реальних даних, однак не остаточними.
Для активізації пізнавальної діяльності учнів варто заповнення таблиці організувати у вигляді змагання на кращого фінансиста. Далі учням пропонується проаналізувати отримані числа та зробити потрібні висновки.
Заповнення таблиці проводиться кожним учнем самостійно, але аналіз отриманих даних потрібно зробити колективно та звернути увагу учнів на важливість математичних закономірностей у реальному житті. Обов’язково треба звернути увагу учнів на те, що данні про вклади в іноземній валюті наведені в гривнях. Чому?
Якщо роботу проводити на вищому рівні складності, то аналіз задачі приводить до формули загальної кількості всіх вкладів у комерційних банках, тобто:
формула n- ного члена прогресії вкладів у національній валюті - 505×2n;
формула n- ного члена прогресії вкладів у комерційній валюті - 111×1,5n.
Тоді формула n - ного члена прогресії всіх вкладів – 505×2n+111×1,5n.
Ця задача показує учням, що довіра у людей до роботи з комерційними банками нашої держави поступово зростає. Наведена робота відповідає такому типу проблемних задач, як задача з декількома можливими способами розв’язання.
Отже, при розгляді задач про діяльність банків, яка пов‘язана з депозитними вкладами, потрібно виділити такі величини:
1. Початковий капітал.
2. Відсоткова ставка.
3. Прибуток ( відсоткові гроші).
4. Термін вкладу (час).
5. Результативний капітал.