Научно-исследовательская работа школьников в РБ (стр. 5 из 8)
f1 (x) = t× (x-a1) … (x-an) +1;
f2 (x) = d× (x-a1) … (x-an) +1.
Отсюда,
a× (x-a1) 2… (x-an) 2 + b× (x-a1) … (x-an) +1 =
= f1 (x) ×f2 (x) = t×d× (x-a1) 2… (x-an) 2+ (t+d) × (x-a1) … (x-an) +1.
Из равенства многочленов получаем, что a= t×d и b= t+d. Значит t и d являются корнями уравнения x2 -bx+a= 0. Но согласно предположению дискриминант этого уравнения b2-4a<0. Уравнение не имеет корней. Таким образом допущение не верно и при отрицательном дискриминанте многочлен a× (g (x)) 2+b×g (x) +1 неприводим.
3.2 Пример 2: волнистые числа
Назовем девятизначное число 
волнистым числом первого типа, если
Например, число 162539581 волнистое число первого типа. Назовем девятизначное число волнистым числом второго типа, если
а) Найдите количество девятизначных волнистых чисел первого и второго типа.
б) Найдите формулу для вычисления количества волнистых п-значных чисел первого и второго типа.
Назовем девятизначное число волнистым числом третьего типа, если
Назовем девятизначное число волнистым числом четвертого типа, если
а) Найдите количество девятизначных волнистых чисел третьего и четвертого типа.
б) Найдите формулу для вычисления количества волнистых п-значных чисел третьего и четвертого типа.
Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.
Решение
Лемма 1. Обозначим через f (n,k1,k2) - количество n-значных волнистых чисел первого типа, начинающихся с цифры k1 и заканчивающиеся на цифру k2, g (n,k1,k2) - количество n-значных волнистых чисел второго типа, начинающихся с цифры k1 и заканчивающиеся на цифру k2. Тогда
и 
Также,
и 
Доказательство. Рассмотрим n-значные волнистые числа первого типа.
Нетрудно заметить, как они получаются. Берутся все n-1-значные волнистые числа и, в зависимости от текущего знака (“<" или ”>”), дописывается каждому числу цифра, меньшая или большая последней, т.е. чтобы найти количество n-значных волнистых чисел, заканчивающихся на k, надо найти сумму всех количеств n-1-значных чисел заканчивающихся на цифры от 0 до k-1 или от k+1 до 9.Т. к. на каждом шаге мы корректно вычисляем волнистые числа, то нет необходимости знать всё число: все зависит от последней цифры.
Следовательно, можно составить рекуррентную формулу, которая будет корректно вычислять количество n-значных волнистых чисел первого типа начинающихся на цифру k1 и заканчивающихся на цифру k2.
Рассмотрим рекуррентную формулу для волнистых чисел первого типа.
Начальные её значения
, т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на iи заканчивающемуся на i ( 
).Пусть
, тогда по четности/нечетности i ( ) определяем текущий знак “<” или “>”:Если i-нечетное, то
является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел первого типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра меньше k2.Если i-четное, то
является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел первого типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра больше k2.Аналогично, выводится рекуррентное соотношение для волнистых чисел второго типа.
Теорема 1. Количество n-значных волнистых чисел первого типа:
и количество n-значных волнистых чисел второго типа:
.Составим таблицу некоторых значений f (n,k,k2)
| k |  |  |  |  |  | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 8 | 44 | 276 | 1650 | |
| 2 | 1 | 7 | 42 | 259 | 1561 | |
| 3 | 1 | 6 | 39 | 235 | 1430 | |
| 4 | 1 | 5 | 35 | 205 | 1260 | |
| 5 | 1 | 4 | 30 | 170 | 1055 | |
| 6 | 1 | 3 | 24 | 131 | 820 | |
| 7 | 1 | 2 | 17 | 89 | 561 | |
| 8 | 1 | 1 | 9 | 45 | 285 | |
| 9 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
 | 10 | 36 | 240 | 1410 | 8622 | |
| k |  |  |  |  |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 10032 | 60654 | 367422 | 2224299 |
| 2 | 9471 | 57309 | 347073 | 2101296 |
| 3 | 8651 | 52403 | 317253 | 1920984 |
| 4 | 7596 | 46067 | 278782 | 1688269 |
| 5 | 6336 | 38471 | 232715 | 1409487 |
| 6 | 4906 | 29820 | 180312 | 1092234 |
| 7 | 3345 | 20349 | 123003 | 745161 |
| 8 | 1695 | 10317 | 62349 | 377739 |
| 9 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| | 52032 | 315390 | 1908909 | 11559469 |
Составим таблицу некоторых значений g (n,k,k2)
| k |  |  |  |  |  |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 9 | 45 | 285 |
| 2 | 1 | 2 | 17 | 89 | 561 |
| 3 | 1 | 3 | 24 | 131 | 820 |
| 4 | 1 | 4 | 30 | 170 | 1055 |
| 5 | 1 | 5 | 35 | 205 | 1260 |
| 6 | 1 | 6 | 39 | 235 | 1430 |
| 7 | 1 | 7 | 42 | 259 | 1561 |
| 8 | 1 | 8 | 44 | 276 | 1650 |
| 9 | 1 | 9 | 45 | 285 | 1695 |
 | 10 | 45 | 285 | 1695 | 10317 |
| k |  |  |  |  |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1695 | 10317 | 62349 | 377739 |
| 2 | 3345 | 20349 | 123003 | 745161 |
| 3 | 4906 | 29820 | 180312 | 1092234 |
| 4 | 6336 | 38471 | 232715 | 1409487 |
| 5 | 7596 | 46067 | 278782 | 1688269 |
| 6 | 8651 | 52403 | 317253 | 1920984 |
| 7 | 9471 | 57309 | 347073 | 2101296 |
| 8 | 10032 | 60654 | 367422 | 2224299 |
| 9 | 10317 | 62349 | 377739 | 2286648 |
| | 62349 | 377739 | 2286648 | 13846117 |
Ответ: