Смекни!
smekni.com

Начала систематического курса стереометрии в средней школе (стр. 2 из 2)

1. Сообщить определения;

2. проиллюстрировать эти понятия на модели куба, классной комнате, рисунке;

3. провести логический анализ формулировки определения;

4. выполнить задания на нахождение параллельных и скрещивающихся прямых на модели (рисунке) куба;

5. сопроводить показ параллельных и скрещивающихся прямых соответствующими обоснованиями.

Для облегчения логического анализа определений и построения отрицания полезно на доске выполнить следующие записи:

1. прямые a и b пересекаются: имеют общую точку, и притом только одну;

2. прямые a и b не пересекаются: не имеют общих точек или общих точек более одной.

Понятие параллельного проектирования вводится с помощью генетического определения. В соответствии с общей особенностью генетических определений используется методическая схема изучения параллельного проектирования:

· одновременно проговорить определения и произвести построения (выполняется учителем);

· одновременно проговорить определения и показать соответствующие построения на готовом рисунке (выполняется учеником); стереть имеющийся на доске рисунок;

· одновременно проговорить определение и выполнить новый рисунок (выполняется учеником).

Методику изучения теорем и их доказательств рассмотрим на примере признака параллельности прямой и плоскости: “Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости”.

Методическая схема:

1) подвести учащихся к теореме, сформулировать ее;

2) выполнить рисунок, краткую запись теоремы;

3) сообщать общую идею теоремы;

4) привести план доказательства;

5) предоставить учащимся возможность самостоятельно осуществить док-во;

6) осуществить доказательство (ученик);

7) закрепить доказательство путем его воспроизведения;

8) применить теорему к решению задач.

Подведение учащихся к теореме: на стол положим спицу а1, вторую спицу положим так, чтобы она была параллельна спице а1.

Вопрос: что можно сказать о взаимном расположении спицы а и поверхности стола?

После опыта задается вопрос: Какую теорему можно сформулировать?

Идея доказательства: (после выполнения рисунка и краткой записи теоремы).

Выполним доп. построение: через параллельные прямые а и а1проведем плоскость a1.

Док-во от противного:

Учтем, что все общие точки плоскостей a и a1 должны принадлежать прямой а1.

План доказательства:

1) проводим плоскость a1;

2) делаем допущение, что ане параллельна a;

3) рассмотрим точку А, точку пересечения прямой а и плоскости a;

4) приходим к выводу, что прямые а и а1 пересекаются;

5) противоречие;

6) а//a.

После проведения доказательства решим следующую задачу:

Пусть SABC тетраэдр. MKP- середины ребер SA, SB, SC

Как располагаются прямые MK, KP, MP относительно ABC?

MK -средняя линия DASB => MK //AB => MK//ABC. Аналогично для др. прямых.

2. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости

Содержание: определения: перпендикулярных прямых, перпендикулярных прямой и плоскости, перпендикуляра к плоскости, расстояние от точки до плоскости, наклонной, прямоугольной проекции наклонной, перпендикулярных плоскостей, теоремы о перпендикулярных прямых, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорем о связи между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве, теорема о трех перпендикулярах, теорема о перпендикулярных плоскостях.

Т.к. в учебнике Погорелова не вводится понятие о перпендикулярных скрещивающихся прямых то: пряма а, пересекающая плоскость a, называетсяперпендикулярнойк плоскостиa, если она перпендикулярнак любой прямой в плоскостиa, проходящей через точку пересечения прямой а с плоскостьюa.

Определения, приведенные в этой теме, относятся к генетическим (конструктивным), поэтому при их изучении используют методическую схему, определенную в “2” для параллельного проектирования. Согласно определения к плоскости проводим прямую, кот. пересекает ее в некоторой точке А. В этой плоскости найдется прямая, проходящая через точку пересечения.

Если эта прямая перпендикулярнакданной прямой, то ее называют перпендикулярнойк плоскости. По рисунку куба попросить учащихся обозначить ребра куба, перпендикулярные к плоскостям AA1BB1, ABCD, D1C1CD, и назвать плоскости, которым перпендикулярны ребра C1D1, A1D1, BC.

Признак перпендикулярности:

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна кдвум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярнак плоскости.

Сформулировать эту теорему учащиеся смогут сами, используя приведенную выше задачу (например, ребро А1D1 перпендикулярнок плоскости DD1C1 => А1D1^DD1 и А1D1^D1С1 т.е. двум прямым лежащим в этой плоскости).

Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости

1) подвести учащихся к признаку, сформулировать его;

2) выполнить рисунок, краткую запись теоремы;

3) сообщать общую идею доказательства теоремы;

4) выполнить доп. построения;

5) сообщать идею доказательства теоремы в более конкретной форме ;

6) привести план доказательства;

7) изложить доказательство ;

8) закрепить доказательство по частям;

9) воспроизведения доказательства полностью;

Для того чтобы подвести учащихся к теореме можно воспользоваться и др. моделью, состоящей из листа картона и нескольких спиц. С ее помощью показать, что если прямая перпендикулярнатолько к одной прямой, расположенной в плоскости a, то этого не достаточно, чтобы прямая а была перпендикулярнакплоскости a.

В учебнике дано слово “пересекающиеся” прямые. Здесь приведено традиционное доказательство, основанное на применении признаков равенства треугольников. Одно из первых доп. построений- проведение через точку А произвольной прямой Х, что необходимо для того чтобы доказать справедливость определения прямой, пересекающей плоскость, этой плоскости. Вторая часть доп. построений: AА1=AА2, произвольная прямая СВ, пересекающая прямые b, х, с. А1С, А1Х, А1В, А2С, А2Х, А2В - для образования треугольников, равенство которых будет доказано.

План доказательства:

1СА2 А1С= А2С
1ВА2 А1В= А2В
1ВС, А2ВС 1ВС=DА2ВС=> ÐА1ВХ= ÐА2ВХ
1ВХ, А2ВХ 1ВХ=DА2ВХ=> А1Х= А2Х
1ХА2 х ^ а

При наличии подробного плана доказательства краткую запись делать не целесообразно. Оставшаяся часть проводится устно.

Пункт 1 плана можно осуществить, направляя учащихся вопросами типа: Какую фигуру надо рассмотреть? Какое ее свойство нужно установить?

После того как доказано, что для DА1СA2 выполняется равенство А1С=A2С?, Почему А1С=А2С? Почему А1В=А2В? Почему DА2ВС=DА2ВС? и т. п.

Заключение

При изучении аксиом целесообразно показать, что многие из них появились в результате наблюдения и абстрагирования различных видов практической деятельности.

Например, при ознакомлении учащихся с аксиомой прямой линии: “Через две различные точки пространства проходит, и притом только одна, прямая” можно рассказать о способе распиловки бревна на доски вручную.

Эффективными для развития пространственного воображения является использование шарнирных моделей, умение учащихся моделировать условия задач с помощью подручных средств. При изучении многогранников полезны каркасные модели тел, изготовленные учащимися.

Литература

1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.

2. Н.М.Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.

3. Г.Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.

4. Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.

5. Ю.М.Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.

6. А.А.Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.