Далее учащимся для самостоятельного решения предлагаются следующие задачи:
1) на вычисление интеграла ([2] стр.264 №11 8)-9), 15)-16), 23));
2) с физическим содержанием ([8] стр.193 №373, 374, 376; [2] стр.269 №3)
Замечание. Данная методика изучения свойств интеграла возможна при условии, что учащиеся знают все используемые при доказательствах формулы. Этого можно добиться, вводя понятие интеграла следующим образом. Методом дифференциалов, а конкретно на задаче о перемещении точки вводится понятие интеграла, затем этим же методом выводится формула для вычисления массы стержня по известной плотности. Далее поясняется, что интегралы можно приближенно вычислять с помощью составления интегральных сумм, и именно с этим методом исторически связано появление понятия интеграл. Этот метод рассматривается на задаче о давлении жидкости на стенку и на задаче о работе силы.
Анализ. Данные свойства интеграла, как известно, можно вывести и другим способом (например, с помощью формулы Ньютона-Лейбница и с использованием свойств площади криволинейной трапеции). Но используемые в доказательствах физические модели, во-первых, наглядны, а, следовательно, легче воспримутся учащимися, позволят лучше запомнить свойства и оставят в памяти учащихся наглядное представление о каждом из свойств. Во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы (а, следовательно, и сами формулы лучше отложатся в памяти учащихся). Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении. Учитывая, что понятие интеграла вводилось через физические модели, а свойства вводятся аналогично, то при данной методике выполняется и принцип последовательности и систематичности в обучении, и принцип доступности. Выше описаны ценные стороны факультатива, но есть и недостаток – данная методика подходит не для всех учащихся. Например, в гуманитарных классах она не применима, данным классам достаточно иметь общее представление об интеграле.