У пояснювальній записці до програми з математики говориться, що «вивчення математики у 1–4 класах здійснюється через систему доцільних задач і практичних робіт» [28, 17]. Це означає, що формування кожного нового поняття пов'язується з розв'язуванням таких задач, які допомагають усвідомити його значення чи потребують його застосування.
Початкове розкриття змісту арифметичних дій здійснюється за допомогою відповідних операцій над предметними множинами. Засобом переходу від операцій над множинами предметів до дій над натуральними числами є задачі. Розв'язуючи задачу, учні спираються на уявлення про предмети, які згадуються в умові, але оперують уже числами.
Задачі мають як навчальні, так і виховні та розвиваючі функції. Функції задач спрямовані на формування системи математичних знань, умінь і навичок на різних етапах її засвоєння.
Робота над задачами також дає можливість реалізувати ряд функцій у вивченні математики: виховну, розвивальну, дидактичну і контролюючу [5; 6; 9; 38]. Проаналізуємо ці функції детальніше.
1) Виховні функції задач спрямовані на формування в учнів наукового світогляду. Як виховний засіб задачі дають змогу пов'язати навчання з життям, ознайомити учнів із пізнавально важливими фактами, Числові дані задач характеризують успіхи економічного зростання в нашій країні, трудові досягнення колективів підприємств, показують зростання добробуту й культури українського народу. Це виховує у дітей свідоме ставлення до навчання, любов до Батьківщини, бажання зробити власний внесок у загальну справу. Внутрішня краса самої математики, оригінальність прийомів розв'язування задач збуджують у дітей естетичні почуття.
2) Під розвивальними розуміють функції задач, спрямовані на формування в учнів науково-теоретичного, зокрема функціонального, стилю мислення, на оволодіння ними прийомами розумової діяльності. У процесі розв'язування задач учні виконують різні розумові операції (аналіз, синтез, конкретизація і абстрагування, порівняння, узагальнення), висловлюють судження і міркування. Для активізації розумових дій учнів під час розв'язування задач запитання треба ставити так, щоб вони спонукали до порівнювання, зіставлення, перевірки тощо.
3) Текстові задачі, які відображують конкретні життєві ситуації, використовуються для ознайомлення учнів з певними математичними поняттями та закономірностями, для з'ясування взаємозв'язків між словом і символом, між символом і поняттям. У деяких випадках формування теоретичних знань через задачі може бути організоване у вигляді проблемної форми навчання. Навчальні функції задач виявляються також у здійсненні принципу політехнізації та в процесі контролю знань і математичного розвитку учнів.
4) Задачі є найважливішим засобом контролю й оцінки знань учнів з математики. Самостійне розв'язування учнями текстових задач як засіб оберненого зв'язку (учень – учитель) дає змогу виявляти вміння правильно обирати і виконувати арифметичні дії, судити про розвиток мислення молодших школярів.
У реалізації принципу політехнізації в навчанні математики передбачається, зокрема, розкриття особливостей дій законів та збільшення питомої ваги практичних робіт. «Розв'язуючи задачі, учні відчувають прикладне значення математики, усвідомлюють важливість математичних знань для пізнання закономірностей навколишнього світу» [17, 28]. Розв'язування задач допомагає в оволодінні кресленням і вимірюванням відрізків, обчислюванні площі фігур, в ознайомленні з такими важливими поняттями, як шлях і швидкість, продуктивність праці, врожайність, у здійсненні між-предметних зв'язків, що посилює політехнічний аспект навчання.
Згідно з чинною програмою [28], в учнів початкової школи на уроках математики мають формуватися вміння розв'язувати прості й складені задачі різних видів. На розв'язування математичних задач у кожному класі відводиться значна кількість уроків. У 1-му класі діти ознайомлюються з поняттям «задача», вчаться розв'язувати прості задачі; у 2-му класі вводяться нові задачі, які розв'язуються двома діями, – це перші складені задачі; у 3-му і 4-му класах кількість і складність складених задач збільшується. З усієї множини виокремлюють такі типи задач: на рух, на роботу, на пропорційне ділення, на знаходження четвертого пропорційного, на знаходження числа за двома різницями, геометричного змісту тощо.
Задачі кожного типу бувають і легкими, і важкими, і дуже важкими для дітей. Таким чином, потрібно спеціально готувати учнів до усвідомлення того, що не завжди, розв'язуючи задачу, можна одразу відповісти на її запитання. З цього витікає необхідність ґрунтовної підготовчої роботи до розв'язання задач на дві і більше дій і продуманої методики введення поняття «складена задача» та подальшого формування у дітей умінь розв'язувати такі задачі [5, 16].
Учитель повинен вчити дітей розв'язувати задачі. Робити це можна за допомогою різних методів. Для типових задач найефективнішим є метод поступового ускладнення, для нетипових – метод евристичних наставлянь. Задачі нового типу природно починати розв'язувати з найпростіших, доступних усім учням. Якщо майже на кожному уроці усно розв'язувати 5–6 таких задач, можна досягти гарних результатів. Поступово складність пропонованих задач має підвищуватися, але таким чином, щоб труднощі, які виникають у процесі їх розв'язання, могли долати й слабкі учні. Нічого поганого не станеться, якщо, наприклад, третьокласникам запропонувати для усного розв'язання кілька задач, які є навіть у підручнику для першого класу.
Не слід непокоїтися, що такі надлегкі задачі уповільнять розвиток більш підготовлених та кмітливих школярів. Адже йдеться лише про 5–7 хвилин деяких уроків. А роль простих задач у навчанні математики надзвичайно велика. Вони є основним засобом у формуванні поняття про арифметичні дії та величини. У процесі розв'язання простих задач учні опановують основні прийоми роботи над задачею. Високий рівень умінь розв'язувати прості задачі – необхідна умова успішного розвитку вмінь розв'язувати задачі складені. Навіть для найсильніших учнів усне розв'язання задач корисне: воно сприяє розвитку швидкості та гнучкості мислення, розумовому розвитку молодших школярів загалом [24, 76].
Оптимізація навчальних, виховних і розвивальних функцій задач можлива за умови, що учні вже мають певні уявлення про структуру задачі, володіють умінням розв'язувати задачі, які можна використовувати як дидактичний засіб. Забезпечення цих умов і є завданням розділу «Задачі» програми з математики. Мета цього розділу – «сформувати в учнів уявлення про структуру простої і складеної арифметичної задачі; ознайомити з арифметичним і алгебраїчним підходами до розв'язування задач; домогтися, щоб кожен учень умів розв'язати будь-яку просту задачу; розвинути вміння застосовувати знання про арифметичні дії і залежності між величинами для складання плану розв'язання задачі, тобто розвинути вміння розв'язувати складені задачі» [5, 13–14].
Розподіл задач за роками навчання і визначення програмного мінімуму здійснено «з урахуванням послідовності вивчення арифметичного матеріалу, об'єктивного і суб'єктивного рівнів складності задач, методичного забезпечення їх у підручниках, а також значення їх для дальшого вивчення математики» [65, 22].
Отже, «задача – це завдання, що містить певний зміст, сюжет, в якому подаються перелік кількох груп предметів, їх кількісна характеристика, що виражається числами, або перелік кількох (не менше двох) величин, їх числові значення, які знаходяться у певних відношеннях («менше» «більше», «стільки ж»)» [31, 44]. Всі числа і числові значення величин пов'язані між собою математичними залежностями. Обов'язково в тексті задачі є запитання чи пропозиції відшукати числове значення іншої, шуканої величини, яка знаходиться у зв'язку із даними величинами. Задача – це завдання, яке здебільшого формулюється словесно (письмово чи усно), на відміну від прикладів.
Приклади складають із чисел і знаків арифметичних дій. Для запису деяких прикладів використовуються дужки, які визначають порядок виконання дій. Як у прикладі, так і в задачі треба за даними числами знайти ще одне число (невідоме). Це число знаходять шляхом виконання арифметичних дій (операцій). У прикладах дії вказано, а послідовність їх виконання визначається правилами. Під час розв'язування задачі арифметичні дії, їх кількість та послідовність виконання треба визначати самостійно.
Дорослим людям, фахівцям багатьох професій доводиться розв'язувати задачі під час виконання різних робіт. Наприклад, при обчисленні ціни, вартості товару, витрати матеріалів, числових характеристик багатьох явищ. Це задачі практичного змісту. Щоб уміти їх розв'язувати, треба спочатку навчитися розв'язувати задачі, що пропонуються підручником і вчителем. Це навчальні задачі [32, 31].
У школі задачі застосовуються при вивченні математики, фізики, хімії та деяких інших навчальних предметів, у процесі їх розв'язування в учнів підвищується розумовий розвиток, формуються загальнонавчальні уміння, вони вчаться аналізувати, робити висновки, порівнювати, складати план, узагальнювати тощо.
Текстова задача складається з умови і запитання. В умові задачі є не менше двох числових даних (іноді одне з них подається неявно (приховано)), які характеризують або кількість предметів, або значення величини, або відношення між ними. В умові вказуються зв'язки між числами, а також між даними числами і шуканим числом, за допомогою яких відбувається добір арифметичних дій для розв'язання. Числові дані подаються в умові, або в умові і запитанні. Але кожну задачу можна сформулювати так, щоб усі числа були представлені тільки в умові. Попарні зв'язки між величинами можна виразити за допомогою арифметичної дії. У запитанні задачі вказується, числове значення якої величини треба знайти. Запитання задачі формулюється у вигляді питального речення зі словами скільки, на скільки, коли, о котрій годині, або у вигляді вимоги: знайти (знайди), обчислити (обчисли), дізнатися (дізнайся) [26, 19].