Предметною областю задачі є множина названих в ній об'єктів (предметів, явищ, величин, фігур). Об'єкти предметної області разом з відношеннями, які їх зв'язують, утворюють умову задачі. Вимога задачі - це те, що потрібно знайти в результаті її розв'язання.
Оператор задачі - це сукупність дій, які слід виконати над даними умови, щоб здійснити вимогу задачі [55,64].
Метою освіти є розвиток особистості учня, зміна його внутрішнього "Я", і навчально-пізнавальна діяльність є ефективним засобом для досягнення цієї мети. В результаті психолого-педагогічних досліджень організація вчителем навчально-пізнавальної діяльності учня впливає на розвиток особистості школяра. У ході експериментального дослідження, проведеного на початку 60-х років групою психологів, дидактів, методистів, фізіологів під керівництвом Л.В. Занкова, було сформульовано п'ять дидактичних принципів розвиваючого навчання:
принцип навчання на високому рівні трудності;
2) швидкий темп вивчення програмового матеріалу;
3) керівна роль теоретичних знань у початковому навчанні;
4) усвідомлення школярами процесу учіння;
5) розвиток усіх учнів класу, в тому числі і найбільш слабких.
Усі ці принципи відіграють велику роль у формуванні і розвитку особистості учня і у контексті нашого дослідження найважливішим є 4 і 5 принципи.
Задача є одним із важливих засобів розвиваючого навчання поряд із засвоєнням теоретичного матеріалу, практичною роботою та ін.
У психолого-педагогічному аспекті задачі класифікують:
за способом подання умови
за ступенем складності
за методами розв'язування
за повнотою даних
за змістом
за основною дидактичною метою
за місцем у процесі навчання та ін.
Так, за місцем в процесі навчання розрізняють навчальні задачі, які розв'язують учні у своїй навчальній діяльності, і дидактичні задачі, тобто задачі управління цією діяльністю, які розв'язує вчитель.
Педагог Т. Лернер серед навчальних задач виділяє пізнавальні задачі, які спрямовані на засвоєння учнями нових знань і способів діяльності. "Особливості пізнавальних задач в тому, що учень, маючи всі необхідні дані, потрібні для наступного розв'язування задачі, не може, однак, дістати цей розв'язок безпосередньо з цих даних. Щоб здобути результат, він повинен перетворити ці дані і самостійно виконати за їх допомогою ряд практичних і розумових операцій у потрібній послідовності." [37,23]
За дидактичною метою та ступенем самостійності учнів в процесі розв'язування, задачі поділяють на навчальні і пошукові. Методист Л. Закота за основною дидактичною мстою виділяє такі типи задач:
задачі-вправи, спрямовані на формування певних навичок і вмінь;
задачі на засвоєння нових теоретичних положень;
задачі на з'ясування суті явищ, подій, процесів,
задачі на визначення способів діяльності;
задачі на широке перенесення способів діяльності в нові умови, що сприяють формуванню творчих здібностей школярів;
задачі-комплекси на узагальнення і систематизацію знань, умінь і навичок,
Н. Метельський за дидактичною метою ділить всі задачі на пізнавальні, тренувальні і розвиваючі [41,17].
Однак будь-яка класифікація не є абсолютною, бо ті самі задачі в залежності від основи класифікації можна віднести до різних груп, а деякі задачі не належать до жодної з груп даної класифікації.
У методичній літературі з математики існує поділ шкільних задач на такі види:
1) задачі на обчислення
2) задачі на доведення
3) задачі на побудову
4) задачі на дослідження
Математика початкової школи оперує переважно задачами першої групи. Найчастіше вони подаються у формі так званої арифметичної текстової задачі.
Під арифметичною задачею розуміється вимога знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших величин і залежність* яка пов'язує ці величини як між собою, так і з шуканою.
У системі навчання учнів початкових класів загальноосвітньої школи переважають арифметичні задачі. Задачі на побудову, найпростіші доведення, а також завдання логічного порядку займають порівняно незначне місце. У навчанні математики задачам відведено особливу роль. З одного боку, вони становлять специфічний розділ програми, матеріал якого учні мають засвоїти, а з другого, виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів [13].
Серед арифметичних задач виділяють текстові сюжетні задачі. Текстовими вони називаються тому, що їхній зміст сформульований природною мовою; сюжетними - через те, що вони містять кількісний опис якоїсь конкретної ситуації [14,9].
У початковій школі задачі шкільних підручників зручно умовно поділити на програмові і позапрограмові. Можна також говорити про задачі обов'язкового рівня навчання і підвищеного рівня. Такий поділ є первинішим, ніж їх поділ на програмові і позапрограмові, бо він визначається не прийнятою шкільною програмою з математики., а основою, на якій створюється пакет програм - Державним освітнім стандартом з математики [46].
Державний освітній стандарт орієнтований на кінцевий результат навчання на рівні мінімального обов'язкового змісту і на рівні мінімальних вимог і математичної підготовки щодо вказаного змісту. Державний стандарт визначає обов'язковий рівень навчання, а вчитель у масовій школі поряд з обов'язковим має забезпечувати підвищений рівень навчання. Обов'язковий задачний мінімум складають задачі, що забезпечують досягнення учнями обов'язкових результатів навчання, без яких неможливе подальше успішне вивчення математики та інших дисциплін. Майже усі види простих задач належать до обов'язкового рівня.
Розв'язати задачу - це означає виконати її вимогу [54,82]. Внаслідок розв'язування задач дістають розв'язок.
Поняття "розв'язок", "розв'язання" і " розв'язування" мають різні значення.
Розв'язок - це кінцевий результат розв'язування, відповідь або частина.
Розв'язання - це логічна конструкція, сукупність всіх обчислень, що приводять до потрібного висновку.
Розв'язування - це процес міркувань, який проводиться під час пошуку розв'язання.
У психології і дидактиці розглядають поняття метод і спосіб розв'язування задачі. Н. Тализіна [53,25] вважає, що сукупність дій, які приводять до розв'язання задач певного класу, називають прийомом, способом, або методом розв'язання. Я. Ханіш [58,96] методом розв'язування завдань вважає весь хід міркувань з моменту ознайомлення із змістом завдання до моменту отримання відповіді, а способом розв'язання - ряд арифметичних дій, що ведуть до отримання результату.
Задача - це сформульоване запитання, відповідь на яке можна знайти за допомогою арифметичних дій. Розглянемо основні елементи, з яких складається кожна задача, і з'ясуємо, що означає розв'язати задачу.
З визначення задачі випливає, що в ній обов'язково має міститись якесь запитання. Без запитання задачі немає. Оскільки відповідь на запитання задачі дістаємо в результаті виконання арифметичних дій, очевидно, в ній повинна міститися вимога визначити те чи інше число - шукане і, крім того, повинні вказуватися ті числа, за допомогою дій над якими можна знайти шукане. Тому обов'язковими елементами будь - якої арифметичної задачі є невідоме (шукане) число (чи кілька таких) і дані числа.
Головна особливість сюжетних текстових задач полягає в тому, що в них безпосередньо не зазначається, яку саме дію (дії) треба виконувати над даними числами, щоб дістати шукане. Тому в тексті задачі потрібні непрямі вказівки на той зв'язок, який існує між даними числами і шуканими і який визначає добір потрібних арифметичних дій та їх послідовності. Це - умова задачі. Умова, яка покликана розкрити зв'язки між даними і шуканими числами, природно містить числові дані задачі.
Учні, як правило, досить легко засвоюють, що в задачі має бути не менше від двох числових даних; дещо важче вони, ознайомлюючись вперше із задачами, усвідомлюють необхідність запитань в їх структурі.
Діти часто підміняють задачу формулюванням умови і наслідку, який з неї випливає. Наприклад, складають такі "задачі": " На гілці сиділо 3 пташки. До них прилетіла ще і пташка. Всього стало 4 пташки." Тому, під час першого ознайомлення із задачею слід застосувати спеціальні прийоми, щоб зосередити увагу дітей на важливості запитання задачі.
Отже, головні елементи задачі умова і запитання. Числові (чи буквені) дані - це елементи умови. Шукане завжди міститься в запитанні. Однак іноді задачу сформульовано так, що запитання містить у собі частину умови, або вся задача викладена у формі запитання.
Усе це слід враховувати, навчаючи дітей розв'язувати задачі. Один з істотних моментів цього навчання полягає в тому, щоб діти навчилися самостійно виконувати первинний аналіз тексту задачі, відділяючи відоме від невідомого. Важливо, щоб вони вміли не тільки вичленити із задачі числові дані, а й пояснити, що означає кожне з них у контексті, що сказано про те число, яке треба знайти, і т.п. Важливо, щоб у процесі первинного аналізу зверталася увага не тільки на виділення даних і шуканого, а й на зв'язки між ними, викладені в тексті задачі.
Розглянемо тепер питання про те, що означає розв'язати задачу. На перший погляд може здатися, що тут все зрозуміло і не потребує обговорення, однак це не зовсім так.
Термін "розв’язання задачі" застосовується в методиці і в живій мові вчителя й учнів у різних значеннях, і на ґрунті цього з процесі навчання виникають іноді певні труднощі, які слід заздалегідь мати на увазі.
Взагалі кажучи, розв'язати задачу - означає відповісти на поставлене в ній запитання. Саме так найчастіше розуміють цю вимогу самі діти. Нерідко, як тільки вчитель повідомить задачу, діти відразу дають відповідь на її запитання. Але це не завжди задовольняє педагога. Він намагається з'ясувати, як учні знайшли відповідь, па основі яких міркувань, за допомогою якої арифметичної дії тощо.