Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики (стр. 2 из 7)
, 
, тогда 
, 
. 
,тогда из равенства правых частей получаем:
. 
, тогда 
.Вывод свойства возрастания и убывания выглядит так:
Пусть
и 
- острые углы, 
и 
, и она пересекает стороны углов 
и 
в точках 
и 
соответственно.Так как
, то точка лежит между точками и 
, тогда 
. А значит, по свойству наклонных, 
(через сравнение их проекций). Так как 
, 
, то косинус убывает. А так как 
, то синус возрастает. 2. Методика введения определений тригонометрических функций углов от 
до 
Расширение области определения тригонометрических функций от
до происходит в теме: "Декартовы координаты на плоскости". 
Рассмотрим окружность с центром в начале координат произвольного радиуса R. Откладываем в полуплоскость
угол 
. Пусть точка 
имеет координаты 
и 
. 
, 
, то из треугольника 
: 
, 
. 
Определяются значения 
и 
этими формулами для любого угла α (для 
0-исключается).
Можно найти значения этих функций для углов 900, 00, 1800. Доказывается, что для любого угла α , 00<α<1800,
. 
повернем подвижный радиус на угол 1800-α= 
по гипотенузе и острому углу: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> 
Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности.
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 00 до 1800; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin, решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".
Конкретизировать, например, понятие cos острого угла прямоугольного треугольника, можно по следующей методической схеме:
1) построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник ABC;
2) обозначить величину острого угла А буквой α;
3) измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ;
4) вычислить отношение
5) записать значение cos α (делается следующая запись cos α ≈ в которой для α не указывается его конкретное значение);
6) измерить транспортиром угол α, найти его величину и записать значение косинуса этого угла данного прямоугольного треугольника.
Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 370. Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 370, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 370, измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 370. Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 370 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.
При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащегося на тот факт, что с каждой из формул для cos, sin и tg α связывается еще две формулы:
