Методика обучения решению текстовых задач алгебраическим способом (стр. 7 из 13)
Проиллюстрируем этот метод рассуждений на примере задачи 5 класса.
Задача. «Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два автобуса. Первый шел со скоростью 50 км/ч, а второй – 40 км/ч. Их встреча произошла в 20 км от середины пути АВ. Найти расстояние между пунктами А и В.»
Представим условие задачи на схеме:
2 автобус – 40 км/ч 1 автобус – 50 км/ч | А | В |
20км 20км
1) Проведем рассуждения аналитически, сопровождая их схемой и записью решения.
| Чтобы узнать расстояние, пройденное автомобилем до встречи, нужно знать скорость их сближения и время сближения. скорость сближения находится действием:50+40=90 (км/ч)Чтобы узнать время сближения, нужно узнать разницу в пройденном пути и в скоростях движения, из-за которой один путь оказался меньше другого.Оба результата находятся так:50-40=10 (км/ч),20+20=40 (км).Теперь нетрудно получить результат:40÷10=4 (ч),90×4=360 (км). | Расстояние АВ   90×4=360скорость времясближения сближения   50+40=90 40÷10=4разность разностьрасстояния скорости20+20=40 50-40=10 |
Решение
Пусть x(км) – расстояние АВ, тогда x/2+20 (км) – расстояние, пройденное 1 автобусов до встречи, а x/2-20 (км) – расстояние, пройденное 2 автобусом до встречи.
(ч) – время движения 1 автобуса, а 
(ч) – время движения 2 автобуса.Составляем уравнение:
x = 360 (км).
2) Проведем теперь рассуждения синтетически, также сопровождая их схемой и записью решения.
| Зная скорость движения автомобилей, можно узнать скорость сближения(50+40=90(км/ч)).Зная место встречи, можно узнать на сколько один автомобиль проехал больше другого (20+20=40(км)); зная скорости автомобилей, можно узнать разность скоростей, которая обусловила разность пройденных до встречи путей (50-40=10 (км/ч)). Зная оба различия, можно узнать время сближения – время пути до встречи (40÷10=4(ч)). Зная время сближения и скорость сближения, можно найти путь АВ (90×4=360 (км)). | скорость разностьсближения расстояния50+40=90 20+20=40 разность скоростей 50-40=10 время сближения 40÷10=4Расстояние АВ 90×4=360 |
Решение
1) 20+20=40(км),
2) 50-40=10 (км/ч),
3) 40÷10=4(ч),
4) 50+40=90(км/ч),
5) 90×4=360 (км).
Анализ открывает путь решения задачи, а синтез осуществляет это решение. Поэтому анализ иногда называют методом открытия. А синтез методом обоснования. Решая любую текстовую задачу арифметическим способом, ученик (и учитель) обязательно намечают план решения (а это и есть скрытый анализ), и уже затем формулируют первый вопрос (или записывают первое действие). Решение многих текстовых задач методом уравнений, несомненно, легче, чем их решение арифметическим методом. Вместе с тем, следует помнить, что только анализ не имеет доказательной силы и поэтому всегда соседствует с синтезом. Поэтому решение задачи методом уравнений нуждается в смысловой проверке, а выкладки, полученные аналитическим путем (от искомого к данным) нуждаются в синтетическом подтверждении (от данных к искомому).
При работе с текстовыми задачами, необходимо, прежде всего, помнить, что важно не столько решить задачу, сколько научить учащихся решать задачи, догадываться, рассуждать, обосновывать или опровергать свои догадки и уметь проверять полученный результат.
Работа по формированию умений перевода сюжета задачи на математический язык разбивается на несколько этапов.
1 этап. Составление и расшифровка числовых выражений
2 этап. Составление буквенных выражений
3 этап. Расшифровка буквенных выражений в соответствии с данной ситуацией.
4 этап. Составление равенств.
5 этап. Расшифровка равенств.
§2. Система упражнений учебника «Математика» 5-6 класс Зубарева И.И., Мордкович А.Г. по формированию умений составления математических моделей
Для рассмотрения этапов формирования умений перевода сюжета задачи на математический язык проанализируем учебник И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича «Математика, 5 класс».
1 этап. Составление и расшифровка числовых выражений.
§ 2. Числовые и буквенные выражения.
№32
Стоимость батона хлеба - 5р., а стоимость плитки шоколада – 15р. Запишите в виде выражения:
1) на сколько плитка шоколада дороже батона хлеба;
2) Во сколько раз плитка шоколада дороже батона хлеба;
3) стоимость плитки шоколада и батона хлеба вместе;
4) стоимость двух плиток шоколада;
5) стоимость трех батонов хлеба;
6) стоимость двух плиток шоколада и трех батонов хлеба вместе;
7) на сколько две плитки шоколада дороже трех батонов хлеба;
8) во сколько раз две плитки шоколада дороже трех батонов хлеба.
Найдите значения полученных выражений.
Начинаем разбор задачи с вопроса «Что нам известно в задаче?». Известно, что батон хлеба стоит 5 р., а плитка шоколада – 15 р. Мы должны записать выражения и найти их значения. Дети это делать умеют.
1) 15-5=на 10р. плитка шоколада дороже батона хлеба;
2) 15÷5=в 3 раза плитка шоколада дороже батона хлеба;
3) 15+5=20р. стоят батон хлеба и плитка шоколада вместе;
4) 15×2=30р.стоят две плитки шоколада;
5) 5×3=15р. стоят три батона хлеба;
6) 15×2+5×3=45р. стоят 2 плитка шоколада и 3 батона хлеба вместе;
7) 15×2-5×3=на 15р. две плитки шоколада дороже трех батонов хлеба;
8) (15×2)÷(5×3)= в 2 раза две плитки шоколада дороже трех батонов хлеба.
Мы ответили на все вопросы задачи. Нашли значения полученных выражений.
После этой задачи учащимся сообщается: все выражения, которые у вас получились, содержат только числа и знаки действий, такие выражения называются числовыми.
Дальше идет задача №33. Она другая, но при записи решения выясняется, что это то же самое, что и предыдущая задача, только в буквенном варианте.
2 этап. Составление и расшифровка буквенных выражений
№33.
Цена груш -
р. за 1 кг, а цена моркови - 
р. за 1 кг. Запишите в виде выражения:1) на сколько 1 кг груш дороже 1 кг моркови;
2) во сколько раз 1 кг груш дороже, чем 1 кг моркови;
3) стоимость 1 кг груш и 1 кг моркови вместе;
4) стоимость 2 кг груш;
5) стоимость 3 кг моркови;
6) стоимость 2 кг груш и 3 кг моркови вместе;
7) на сколько 2 кг груш дороже 3 кг моркови;
8) во сколько раз 2 кг груш дороже 3 кг моркови.
Чем отличаются эти выражения от тех, которые были получены в предыдущем задании? Как бы вы назвали эти выражения?
В задаче нам известно:
Цена 1 кг груш -
р., цена 1 кг моркови - р.Отличие этой задачи от предыдущей в том, что в задаче №32 были даны числовые значения. В этой задаче даны буквенные значения, получаются такие выражения:
Разбирается с детьми то, что эти выражения отличаются от выражений, полученных в предыдущем задании, тем, что они записываются с помощью букв и можно было бы их назвать буквенными.
Сразу после этой задачи идут выводы о том, что это действительно буквенные выражения. А также о том, что найти значения буквенных выражений можно, зная значения входящих в них букв.
Рассмотрим более сложное задание для 1-го этапа.
№39
Саша и Миша – братья. Саша любит ходить за грибами, а Миша ловить рыбу. Обычно, рано утром из дома они выходят одновременно, но идут в противоположных направлениях. Саша, собирая грибы, идет медленно, со скоростью 2 км/ч, а Миша торопится поскорее дойти до озера и идет быстро, со скоростью 6 км/ч.
Запишите выражения для следующих величин:
1) расстояние между грибником и рыболовом через час после начала движения;
2) скорость, с которой грибник и рыболов удаляются друг от друга;
3) расстояние между грибником и рыболовом через 2 ч после выхода;
4) расстояние, пройденное грибником за 2 ч;
5) расстояние, пройденное рыболовом за 2 ч;
6) на сколько расстояние, пройденное рыболовом за 2 ч, больше расстояния, пройденного за то же время грибником;
7) во сколько раз расстояние, пройденное рыболовом за 2 ч, больше расстояния, пройденного за то же время грибником.
Найдите значения полученных выражений.
Что нам известно?
Саша ходит за грибами, со скоростью 2 км/ч,
Миша ходит ловить рыбу со скоростью 6 км/ч.
1) 6×1-2×1=4 км расстояние между ребятами через 1 ч;
2) 6-2=4 км/ч скорость удаления;
3) 6×2-2×2=8 км расстояние меду ребятами через 2 ч;
4) 2×2=4 км прошел Саша за 2 ч;
5) 6×2=12 км прошел Миша за 2 ч;
6) 12-4= на 8 км расстояние, пройденное Мишей больше расстояния пройденного Сашей.
7) 12÷4= в 3 раза расстояние, пройденное Мишей больше расстояния пройденного Сашей.