Решение задач на экстремум (стр. 11 из 16)

Аналогично этому к грани A1B1C1D1 куба примыкает не менее двух тетраэдров, причем общий объем этих тетраэдров также не превосходит

.

Так как ни один тетраэдр не может одновременно иметь граней, являющихся частью квадрата АВСD и частью квадрата A1B1C1D1 (ведь никакой тетраэдр не имеет параллельных граней!), то мы уже имеем не менее 4 тетраэдров, причем общее число тетраэдров не превышает 2

, то есть меньше объема а3. Отсюда и вытекает, что число тетраэдров не может быть меньше пяти.

Задача 3.

В шар радиуса R вписан конус, осевое сечение которого – равносторонний треугольник. Определить, между какими пределами может изменяться разность площадей двух сечений, из которых первое (КGFD) получается в результате пересечения шара плоскостью, параллельной основанию конуса, а второе(NPF) – в результате пересечения конуса той же плоскостью.

Решение.

Площади обоих сечений равны нулю в том случае, когда проводимая плоскость касается шара в точке В (вершина конуса). Площади обоих сечений будут равны, когда проводима плоскость совпадает с плоскостью основания конуса. Когда же проводимая плоскость занимает промежуточное положение между положениями рассмотренными выше, то площади сечений шара и конуса не равны. Итак, разность S площадей сечений шара и конуса изменяется от нуля до нуля, переходя через максимум, который мы определим.

S=

( MK2- MN2 ); OB=R; MB=x;

MK2 = OK2 – OM2 = R2- (R - x)2 = 2Rx – x2/

Так как ∆ АВС равносторонний по условию и АС || NP, то и ∆ NBP также равносторонний, следовательно, MN2 =

.

Следовательно S=

2x (3R – 2x),

которое будет максимально, когда максимально S1= 2x(3R- 2x). Так как сумма множителей 2x + 3R - 2x = 3R, то S1 максимально, когда 2х= 3R- 2х, т.е.

х= ¾R. Следовательно, максимальное значение S равно

.

Занятие 3

Тема: «Алгебраический подход к решению задач на экстремумы».

Тип: Комбинированный урок.

Цели:

Обучающая: Отработка и совершенствование навыков решения экстремальных задач аналитическими методами.

Развивающая: Развитие мышления в процессе перевода словесной информации в математические символы, развитие ответственности и добросовестности во время индивидуальной работы.

Воспитательная: воспитание объективного отношения к результатам своей работы, эстетическое восптание..

Задачи: обзор методов решения экстремальных задач – геометрических и аналитических, рассмотрения аналитического метода решения задач с использованием квадратичной функции. Рассмотрение конкретных задач, решаемых этим методом.

Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.

План урока

Содержание	Методы и приемы	Время
1. Орг. момент Сообщение цели урока	Инструктаж учителя	3 мин
2. Изучение нового материала1.Суть метода.2.Пример решения задачиметодом перебора.3.Решение задачи с использованием квадратичной функции.	Лекция (объяснительно-иллюстра–тивный с элементамипроблемного изложения)Учащиеся конспектируют, задают вопросы.	29 мин
3.Закрепление пройденного материала.	Учитель предлагаетучащимся задачи длясамостоятельного решения. Учащиеся самостоятельно решают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый)	23 мин
4.Подведение итогов	беседа	2 мин
5.Запись домашнего задания	Инструкция учителя(репродуктивный)	3 мин

Ход урока:

Деятельность учителя	Деятельностьучащихся
I. Орг. момент. Добрый день.На протяжении последних двух занятий мы с вами решали задачи на нахождение наибольших и наименьших величин геометрическим подходом.Какие методы мы использовали?Сегодня мы рассмотрим алгебраические подходы к решения экстремальных задач.	Садятся Слушают учителя, отвечают на его вопросы.
II.Лекция. 1.Суть метода.Как и геометрических, алгебраических подходов очень много, сегодня мы рассмотрим два из них: метод перебора и использование квадратичной функции.В практике часто встречаются экстремальные задачи, при решении которых получается одно уравнение с несколькими переменными, заданными на множестве целых неотрицательных чисел. Решение таких задач сводится к исследованию линейной функции.2.Пример решения задачи методом перебора.Примером может послужить такая задача:Содержание витамина С в 1 кг фруктов и стоимость 1 кг заданы следующей таблицей:

Обозначим количество килограммов вишни через х, а количество килограммов абрикосов – через у. Тогда решение задачи сводится к нахождению min(0,3 x + 0,4y), если 150 х + 75у =75, где х < 0,25.

min (0,3 x + 0,4 – 0,8 x ) = min (- 0,5x + 0,4) = 0,275.

В дневной рацион следует включать 0,25 кг. Вишни и 0,5 кг. Абрикосов.

При решении задач квадратичной функции мы будем опираться на следующую теорему:

Теорема:

Функция ах2 + вх + с при а>0 имеет наименьшее значение, равное (4ас-b2)/4, и при а<0 - наибольшее значение, равное тоже (4ас-b2)/4. Эти наименьшие и наибольшие значения получаются при х = - b/2а.

3.Решение задачи с использованием квадратичной функции.

Найти наименьшее значение функции

и построить ее график.

Поиски решения. Данную функцию можно изобразить аналитически так:

Отсюда видно, что при х = -1 она теряет смысл, а при всех других действительных значениях х принимает только положительные значения. Следовательно, ее наименьшим значением может быть только положительное число. Обнаружить это наименьшее значение непосредственно не представляется возможным. Поэтому надо обратиться к каким-то целенаправленным преобразованиям данного аналитического изображения функции.

Решение:

Очевидно, что

Обозначив дробь

буквой u, получим:

Искомое наименьшее значение равно

и получается оно при т.е. при

х = 1

Перейдем к построению графика данной функции. Составим таблицу нескольких значений х и у, пользуясь формулой

х	-3	-2	-3/2	-1	-1/2	0	1	2	3	…
у	7/4	3	7	Х	3	1	3/4	7/9	13/16	…

Если аргумент х будет приближаться к -1 (слева или справа), то у будет неограниченно возрастать.

Теперь посмотрим, как будет вести себя у, когда х станет стремиться к плюс бесконечности или минус бесконечности. Очевидно, что

Отсюда видно, что при стремлении х к бесконечности у стремится к

Ученики конспектируют, задают вопросы

Слушают учителя,

записывают решение в тетрадь, задают

возникающие вопросы.

IIIЗакрепление пройденного материала. Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня ирешите предложенные там задачи.Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске.	Учащиеся берут карточки с заданиями и преступаю к решению задач. Если возникают трудности, они обращаются за помощью к учителю.
IVПодведение итоговИтак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение.Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть)	Задают вопросы, которые остались непонятными.
VЗапись домашнего заданияДомашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать задачки своей карточки.	Записывают.