Методика вивчення тригонометричних функцій у старшій школі з використанням мультимедійних засобів (стр. 4 из 8)

Для тангенса і котангенса зручно використати їхні лінії як дотичні до одиничного кола. Запам'ятовуванню знаків функції по координатних чвертях сприяє схема (Рис. 2.3.).

Рис. 2.3

З метою повторення відомостей з курсу геометрії про значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60° слід знайти ці значення для відповідних радіанних мір.

Приклад 2. Знайти значення всіх чотирьох тригонометричних функцій числа

.

Розв'язання. Щоб знайти

і , досить знайти ординату і абсцису т. (Рис. 2.4.), яка відтинає частини дуги . У прямокутному трикутнику , а . Оскільки у прямокутному трикутнику катет, що лежить напроти кута , дорівнює половині гіпотенузи, то . За теоремою Піфагора,

, ,

, .

Аналогічно можна знайти значення тригонометричних функцій чисел

і . Учитель рекомендує учням запам'ятати значення функцій чисел , , , оскільки ними часто послуговуються, розв'язуючи інші задачі. Ці значення зводять до табл. 2.1.

Таблиця 2.1.

Щоб учні легше запам’ятали значення тригонометричних функцій для деяких кутів, доцільно використовувати модель тригонометра (Рис. 2.5.). Його використання дає змогу не зазубрювати таблицю значень тригонометричних функцій від 0 до

, «кола» знаків тригонометричних функцій і формул зведень.

Мнемонічне правило (для тригонометра)

1. Якщо кут

відкладається від вертикального діаметра одиничного кола ( і т. п.), то назва функції змінюється: на , на , на , на ;

Якщо кут

відкладається від горизонтального діаметра одиничного кола ( і т. п.), то назва функції не змінюється.

2. Перед новою функцією записується той знак, який мала функція, що зводилася.

Рис. 2.5.

2.3 Вивчення властивостей тригонометричних функцій

Перш ніж вивчати властивості тригонометричних функцій, попередньо потрібно довести їхню періодичність і, послуговуючись означенням та цією властивістю, побудувати графіки. Графіки дають змогу виявити інші властивості, а потім обгрунтувати їх аналітично.

Використовуючи означення синуса і косинуса числового аргументу та враховуючи їх геометричну інтерпретацію на одиничному колі, матимемо

, , де , тобто періодом синуса і косинуса є числа . Застосовуючи лінії тангенсів і котангенсів, неважко зробити висновок, що , , тобто періодом тангенса і котангенса є числа .

Доведемо методом від супротивного, що найменшим додатним періодом синуса і косинуса є число

.

Припустимо, що існує додатне число

таке, що . Тоді при маємо . Однак синус може дорівнювати 1 лише в т. , яка відповідає на одиничному колі числам , . Отже, , звідки . За припущенням, , тобто . Поділивши всі три частини останньої нерівності на , дістанемо , що суперечить умові, оскільки , а між 0 і 1 немає жодного цілого числа. Отже, припущення неправильне, а справедливе те, що – найменший додатний період функції .

Аналогічно, взявши рівність

, де х=0, можна довести, що найменшим додатним періодом для функції є число .

Доведемо, що число

є найменшим додатним періодом функції . Припустимо, що існує додатне число таке, що . Тоді за матимемо . Однак тангенс дорівнює 0 лише в двох точках і одиничного кола, які відповідають числам , де . Тому . За припущенням, , тобто . Поділивши всі три частини останньої нерівності на , дістанемо 0<п<1, що суперечить умові. Отже, припущення неправильне, а справедливе те, що — найменший додатний період функції .