Системи модульно-розвивального навчання (стр. 4 из 7)
Сучасна методична наука поки що не створила будь-якого достатньо визначеного “алгоритму” побудови такого циклу задач. Тому вивчення і систематизація різноманітних методів і прийомів побудови таких систем задач, особливо з планіметрії, є актуальною проблемою, як в теоретичному так і в практичному аспектах. Вирішення цієї проблеми допоможе вчителю математики встановлювати взаємозв’язки між окремими зовні розрізненими задачами, самостійно будувати цикл задач, які об’єднує спільна дидактична мета.
Для того щоб показати як працює цей метод в планіметрії викладач пропонує розглянути декілька прикладів. В наведених прикладах назва кожної ключової задачі відповідає тій геометричній ситуації, яка розглядається.
Ключова задача 1. «Медіана проведена до гіпотенузи».
У прямокутному трикутнику довжина медіани, що виходить з вершини прямого кута, дорівнює половині довжини гіпотенузи.Розв’язання:
На промені СМ відкладемо відрізок MD, що дорівнює СМ (рис. 1). У
чотирикутнику ABCD діагоналі точкою перетину
діляться навпіл, отже ACBD – паралелограм. Але <ACB=90ْ, значить ACBD – прямокутник.
Звідси
Наслідок. Центр описаного кола навколо прямокутного трикутника лежить на середині гіпотенузи:
.Якщо в трикутнику довжина медіани дорівнює половині довжини сторони, до якої вона проведена, то цей трикутник прямокутний
Розв’язання:
Використовуючи вищенаведену додаткову побудову, прийдемо до висновку, що ABCD – паралелограм з рівними діагоналями, тобто прямокутник. Звідси
Приклади: Задача 1. Медіана проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, поділилапрямий кут у відношенні 1:2. Довжина медіани m. Знайти сторони трикутника.  |
Розв’язання:
З відомого відношення кутів визначаємо, що 
, 
(рис. 2). Оскільки 
, то трикутники BMC, AMC – рівнобедрені. В Δ АМВ кут при основі 
, тому він рівносторонній, звідки АМ=СМ=m. АС=2СМ=2m. За теоремою Піфагора: 
Задача 2.BD – медіана прямокутного трикутника АВD ( 
). Нехай К – точка дотику сторони ADтрикутника ABDз колом, вписаним в цей трикутник. Знайти кути трикутника АВС, якщо К ділить ADнавпіл. 
Розв’язання:
Нехай N – точка дотику кола до
Нехай N- точка дотику кола до сторони BDтрикутника BDA(рис. 3). Маємо DK=DN=x. Оскільки К – середина AD, AD=AK=xЗа властивістю медіани, яку проведено до гіпотенузи, BD=AD=2x.
Отже, ABD – рівнобедрений.
Маємо,
, 
.  | |
Задача 3. Знайти сторони AB і CD трапеції ABCD, в якої AB=2CD=2AD, AC=a, DC=b.
Розв‘язання:
Проведемо CE׀׀AD (рис.4).Нехай AD=x. Тоді CE=x, AB=2DC=2x. Але
AE=DC=x. Звідси, CE – медіана трикутника ABC.
.Отже,
.Маємо:
.Ключова задача 2. «Середини сторін чотирикутника».
Середини сторін опуклого чотирикутника є вершинами паралелограма, площа якого дорівнює половині площі даного чотирикутника.
Розв‘язання:
Відрізки FM і KN (рис.5) є середніми лініями трикутників ABC і ADC відповідно. Тоді FM׀׀AC,
і KN׀׀AC, 
.Звідси FM=KN, FM׀׀KN , і отже, чотирикутник FMNK – паралелограм. Нехай площа чотирикутника ABCD дорівнює S. 
і 
.Звідси 
.Аналогічно
. Одержуємо 
. 
Приклади:Задача 4. Довести, що в опуклому чотирикутнику сума квадратів діагоналей вдвічі більша за суму квадратів відрізків, що сполучають середини протилежних сторін.Розв’язання:
Скориставшись теоремою про сторони і діагоналі паралелограма, маємо: 
(рис. 6). Враховуючи, що ,одержуємо
. Задача 5. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні, довжина однієї з них дорівнює 6 см. Довжина відрізка, що з’єднує середини основ, дорівнює 4,5 см. Знайти площу трапеції.Розв’язання:
Нехай K і N (рис. 7) –середини бічних сторін трапеції ABCD. FN=4,5 см, AC=6 см і
BOA=900. Оскільки KF׀׀AC і KN׀׀BD, то кут NKF прямий і KFMN – прямокутник. Тоді з прямокутного трикутника FKN одержуємо: 
. 
, а оскільки 
, то 
.Застосовуючи метод ключової задачі, можна значно активізувати самостійно-навчальну діяльність учнів в процесі розв’язування планіметричних задач, а також ліквідувати перевантаження старшокласників, адже вони розв’язують меншу кількість задач як в класі, так і вдома.
Однак знання тільки алгоритму розв’язування ключових задач не може задовольнити тих учнів, які проявляють інтерес до математики. У роботі з ними важливо вчасно перейти до розбору задач нестандартних.
Слід відмінити важливість консультацій. Їх мета навчити учнів задумуватись над проблемою, усвідомити для себе, які виникли труднощі при знайомстві з темою, а для розв’язання цих труднощів – сформулювати питання, в яких він би хотів одержати відповідь.
На контрольно-смисловому модулі вчитель використовує понятійні і математичні диктанти , кросворди, тестові завдання, застосовує таку форму навчання, як співбесіда.
Співбесіда дозволяє через доцільно – складену систему запитань з теми з’ясувати рівень засвоєння вивченого матеріалу кожним учнем.Якщо виявляється недостатня підготовка учнів, то здійснюється індивідуальна робота, призначаються консультації на допомогу цим учням. Проводити заняття вчителю допомагає група асистентів (перевіряють самостійні роботи, виставляють оцінки в контрольний аркуш).
Оскільки мета адаптивно-перетворюючого етапу – формування умінь, навичок і норм діяльності, застосування знань у нестандартних ситуаціях, то на цьому етапі педагог практикує такі форми навчання, як математичні практикуми та консультації.
Мета практикумів: