Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов (стр. 13 из 13)

В школе в качестве моделей изучаются не только числовые или буквенные выражения и уравнения. В старших классах вы познакомитесь с другими видами уравнений, неравенствами, системами уравнений или неравенств, а также с функциями.

Приложение 2

Разработка занятия математического кружка по теме «Решение задач с применением метода математического моделирования»

Ход занятия:

Распространенным видом математических моделей являются уравнения. На этом занятии мы будем учиться решать задачи с помощью уравнений. Но прежде чем ответить на вопрос, как решать задачи, попытаемся разобраться, для чего их решать.

Задачи в истории возникли как инструмент тренировки ума. Ситуации, описанные в задачах, иногда кажутся надуманными. Но для составителя это не важно, так как он не повторяет реальную ситуацию, а конструирует ее, сохраняя связи между величинами в реальных процессах. Таким образом, решая задачи, мы учимся строить математические модели реальных ситуаций.

Математическое моделирование включает в себя три этапа:

1) построение модели (перевод условия задачи на математический язык);

2) работу с моделью;

3) практический вывод.

В соответствии с этим и решение задач с помощью уравнений состоит из трех этапов:

1) составление уравнения;

2) решение уравнения;

3) ответ на вопрос задачи.

Составление уравнение начинается с выбора неизвестной величины, которую обозначают буквой x (или любой другой буквой). Для этого прежде всего надо определить, о каких величинах идет речь в задаче, какая между ними взаимосвязь, какие из величин известны, а какие нет.

Обычно за x принимают искомую величину, однако это совсем не обязательно. Лучше обозначать величины так, чтобы получилось более простое и удобное для решения уравнение.

Есть еще один важный момент, на который нужно обращать внимание при составлении уравнения – это соответствие единиц измерения величин. Если, например, скорость движения выражена в километрах в час, а время в минутах, то необходимо или время выразить в часах, или скорость – в километрах в минуту.

Решая задачу с помощью уравнения, надо помнить о том, что не всегда корни уравнения представляют собой искомые величины. Поэтому перед тем, как записать ответ, надо сопоставить введенные обозначения с вопросом задачи.

Кроме того, ответ должен соответствовать реальности. Например, если получилось, что в классе 25,8 учащихся, то либо задача составлена не корректно, либо в решении допущена ошибка.

Итак, при решении задач с помощью уравнений можно руководствоваться следующим алгоритмом:

1) Внимательно прочитать задачу.

2) Определить, какие величины известны, а какие – нет.

3) Проверить соответствие единиц измерения величин.

4) Одну из неизвестных величин обозначить буквой x (или любой другой буквой).

5) Выразить через x значения других неизвестных величин, используя при необходимости таблицы и схемы.

6) Составить уравнение.

7) Соотнести корень уравнения с вопросом задачи.

8) Проверить соответствие полученного ответа реальному процессу.

Приведем пример решения задачи с помощью уравнений.

Задача. В первой бочке было в 2 раза меньше огурцов, чем во втором. После того как из первой бочки взяли 500 г огурцов, а из второй – 6 кг, во второй бочке осталось на 60% огурцов больше, чем в первой. Сколько огурцов было во второй бочке первоначально?

1 этап. Прежде всего, заметим, что масса огурцов выражена в разных единицах.

Переведем граммы в килограммы: 500 г = 0,5 кг.

В задаче требуется найти исходную массу огурцов во второй бочке. Но за x удобнее принять исходную массу огурцов в первой бочке, так как она меньше и у нас не появится дробей.

Для того чтобы составить уравнение, заполним таблицу.

Масса огурцов в 1 бочке	Масса огурцов во 2 бочке
Было	x кг	2x кг
Стало	(x – 0,5) кг	(2x – 6) кг

Заметим, что, составляя таблицу, делая к задаче рисунок или чертеж, мы также составляем математическую модель данной задачи, которая называется графической, что во многих случаях позволяет нам облегчить решение задачи.

Решение:

1) 100% + 60% = 160% - составляет масса огурцов, оставшихся во второй бочке от массы огурцов, оставшихся в первой бочке.

2) Пусть в первой бочке было x кг огурцов, тогда во второй бочке было 2x кг огурцов. В первой бочке осталось (x – 0,5) кг, а во второй – (2x – 6) кг огурцов. Масса огурцов, оставшихся в первой бочке, составляет 160% от массы огурцов, оставшихся во второй бочке, значит:

2 этап.

3)

(кг)

3 этап. Ответ: во второй бочке было 26 кг огурцов.

Далее ученикам предлагается решить следующие задачи и сделать к ним рисунок:

Задача 1. Из коробки взяли сначала 4 конфеты, а потом еще четверть оставшихся конфет. После этого в коробке осталось

всех конфет. Сколько конфет осталось в коробке? (См. № 118, [15])

Задача 2. Грузовик проехал в первый день треть всего пути, а во второй день – 90% пути, пройденного в первый день, а за третий день – остальные 440 км. Сколько километров проехал грузовик за второй день? (См. № 117 (а), [15])

Задача 3. На двух элеваторах зерна было поровну. Когда из первого элеватора вывезли 140 т зерна, а из второго в 2,5 раза больше, во втором элеваторе зерна осталось в 2,4 раза меньше, чем в первом. Сколько тонн зерна было на элеваторах первоначально? (См. № 150, [15])

Задача 4. Мастер может выполнить весь заказ за 8 ч, а его ученик - за 10 ч. В час ученик делает на 15 деталей меньше мастера. Найди производительность мастера и производительность ученика (см. № 116 (а), [15])

Приложение 3

Контрольная работа по теме «Решение задач»

Вариант 1.

Задача 1. На станции технического обслуживания три механика отремонтировали за месяц 78 автомобилей. Первый механик отремонтировал в 1,5 раза больше автомобилей, чем второй, а третий – на 6 автомобилей больше, чем первый. Сколько автомобилей отремонтировал каждый механик? (См. № 137 (1), [13])

Задача 2. Таня задумала число, умножила его на 15 и результат вычла из 80. Получила 10. Какое число задумала Таня? (См. № 1212 (б), [22])

Задача 3. Собственная скорость теплохода равна 32,5 км/ч, а его скорость по течению реки – 35 км/ч. Какое расстояние проплывет теплоход, если будет двигаться 2,6 ч по течению реки и 0,8 ч против течения? (См. № 225 (1), [13])

Задача 4. Трем братьям вместе 45 лет. Возраст младшего на 60% меньше возраста среднего брата, а возраст старшего брата – на 60% больше возраста среднего. Сколько лет младшему брату? (См. № 126 (а), [15])

Задача 5. Реши, составив пропорцию.

На конвейерной линии расфасовывается 5,4 кг сухого картофеля за 2,5 мин. Сколько килограммов сухого картофеля будет расфасовано на этой линии за один час? (См. № 293 (1), [14])

Вариант 2.

Задача 1. В детском хоре «Весна» занимаются148 детей. В младшей группе хора в 2 раза больше детей, чем в средней, и на 32 человека больше, чем в старшей. Сколько детей занимается в каждой группе хора? (См. № 130 (1), [13])

Задача 2. Саша задумал число, прибавил к нему 25 и результат умножил на 10. Получил 200. Какое число задумал Саша? (См. № 1212 (в), [22])

Задача 3. Собственная скорость катера равна 14,7 км/ч, а скорость против течения реки – 10,2 км/ч. Какое расстояние преодолеет катер, плывя 2 ч по течению реки и 4,5 ч против течения? (См. № 225 (2), [13])

Задача 4. В библиотеке 270 книг. Книг на английском языке на 40% больше, чем на французском, а книг на немецком – на 40% меньше, чем на французском. Сколько в библиотеке книг на английском языке?

Задача 5. Реши, составив пропорцию.

Оператор набрал на компьютере рукопись за 6,3 ч, работая с производительностью 16 стр./ч. За сколько времени набрал бы эту рукопись другой оператор, производительность которого 21 стр./ч? (См. № 293 (2), [14]).