Элементы статистики комбинаторики и теории вероятностей в основной школе (стр. 10 из 14)
Сравните между собой на основе жизненного опыта общения по телефону шансы следующих случайных событий и определите, какие их них наиболее вероятны.
А) вам никто не позвонит с 5 до 6 утра.
Б) вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра.
В) вам кто-нибудь позвонит с 6 до 9 вечера.
Г) вам никто не позвонит с 6 до 9 вечера.
Здесь нужно учесть индивидуальные особенности, в результате которых для разных людей возможны различные ответы на поставленные вопросы.
Так, поскольку ранним утром звонки вообще бывают очень редко, у события Б шансов крайне мало, оно маловероятное, почти невозможное. Но вот у события А очень много шансов, это практически достоверное событие.
Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие В для большинства людей вероятней, чем событие Г. Хотя, если человеку вообще звонят редко, событие Г может оказаться вероятнее события В.
Полезно рассмотреть задачи следующего плана:
1) Вини Пух, Пятачок и все-все-все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При каком количестве «всех-всех-всех» событие «Вини и Пятачок будут сидеть рядом» является достоверным, а при каком случайным?
2) В школе учится N учеников. При каких N событие:«В школе есть ученики с совпадающими днями рождения» является случайным, а при каких – достоверным?
Здесь учащиеся сами должны придумать условие, при которых эти события являются случайными, а при которых достоверными.
В 6 классе учащимся предлагается качественно новая деятельность для урока математики – проведение экспериментов. Это могут быть эксперименты с подбрасыванием кубика, монеты или кнопки. Все результаты экспериментов необходимо оформлять в виде таблиц, которые заполняются по ходу эксперимента.
Для проведения экспериментов учащихся лучше разбить группы по 2-3 человека, один из которых будет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его.
Могут быть предложены следующие задания-эксперименты.
Задание №1. 100 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и «решки».
Задание №2. 100 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала острием вниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх.
Задание №3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из 6 букв.
Задание №4. Выберите 7 строк произвольного текста (можно несколько различных текстов). Подсчитайте сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю.
Результатом должны быть таблицы примерно такого плана:
Таблица №1. «Эксперимент по подбрасыванию монеты».
| Событие | Количество выпадений | итого |
| Выпал «орел» |      / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / | 58 |
| Выпала «решка» | / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / | 42 |
После проведения эксперимента, введем понятие частота и вероятность случайного события. В качестве примера рассмотрим таблицу №1. Для проведенного эксперимента подсчитаем, какую часть составляет выпадение «орла» от общего числа бросаний монеты, или, как говорят, подсчитаем частоту. Тоже самое подсчитаем для «решки». Для нашего случая это будет 0,58 для «орла» и 0,42 для «решки». Можно составить общую таблицу, в которой будут отражены общие результаты проведенного эксперимента. После этого можно обратиться к результатам проведенных ранее экспериментов. Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в 18 столетии 4040 раз подбрасывал монету – герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале 20 столетия подбрасывал ее 24 000 раз – герб выпал 12 012 раз. Американские экспериментаторы повторили опыт. При 10 000 подбрасываний герб выпал 4979 раз. Таким образом, опираясь на собственные результаты и полученные ранее можно заметить, что при подбрасывании монеты частота появления «орла» примерно равна 0,5. Следовательно, хотя каждый результат подбрасывания монеты – случайное событие, при многократном повторении эксперимента видна отчетливая закономерность: при увеличении количества экспериментов значение частоты сосредотачивается около некоторого числа р. Это число р и будет вероятностью данного события.
Для нашего примера число 0,5 – это вероятность случайного события «выпадения «орла». Так как в этих экспериментах «решка» появляется также примерно в половине случаев, то и вероятность выпадения «решки» равна 0,5.
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р. Если обозначить событие «выпадет «орел» буквой А, а событие «выпадет «решка» буквой В, наш результат можно записать так:
Р(А) = 0,5, Р(В) = 0,5.
Иногда вероятность выражают в процентах, тогда: Р(А)=50%, Р(В)=50%.
Тот факт, что вероятность появления «орла» равна 0,5, конечно, не означает, что в любой серии экспериментов «орел» появится ровно в половине случаев. Но если число экспериментов достаточно велико, мы можем дать прогноз, что «орел» выпадет примерно в половине случаев.
Таким образом, в каждом из экспериментов подсчитаем частоту рассматриваемых событий с помощью формулы:
Частота = (число появлений события)/(число экспериментов).
Затем, используя найденную частоту, оценим вероятность рассматриваемых событий.
Кроме экспериментов, рассматриваются задачи с уже известными данными о появлении некоторого события, и требуется вычислить вероятность этого события.
Известно, что на 100 батареек попадаются 3 бракованные. Какова вероятность купить бракованную батарейку.
В этой задаче необходимо вычислить вероятность события А: «купить бракованную батарейку», зная, что из ста случаев, это событие произошло 3 раза. Таким образом, получаем, что Р(А) = 0,03.
Составляя таблицы с результатами, проведенных экспериментов, учащиеся приобретают навыки работы со статистическими данными (представление статистических данных и некоторые выводы из них).
Кроме этого в 6 классе рассматриваются задачи непосредственно направленные на работу с таблицами (чтение и составление).
Некоторые таблицы бывают очень простые (с ними мы работали в 5 классе), но бывают таблицы и по сложнее. Например, турнирные таблицы, в которых записывается ход соревнования и его результаты.
Рассмотрим турнирную таблицу, в которой представлены итоги шахматного турнира с четырьмя участниками:
| № | Фамилия | 1 | 2 | 3 | 4 | Очки | Место |
| 1 | Виноградов О. | 0 | 0 | 1 | |||
| 2 | Галкин М. | 1 | Ѕ | 1 | |||
| 3 | Поликарпов С. | 1 | Ѕ | 0 | |||
| 4 | Антипов Е. | 0 | 0 | 1 |
За победу участник получает 1 очко, за проигрыш – 0, а за ничью -1/2.
По данной таблице могут быть заданы следующие вопросы:
1) сколько партий сыграл каждый участник
2) как сыграл Поликарпов с каждым из участников
3) заполнить последний столбец, сосчитав, сколько очков набрал каждый участник.
4) определить, используя данные в столбце «Очки», как распределились места между участниками.
§3. Методика реализации стохастической линии в 7 классе.
Основные задачи:
·Введение понятия перестановки и вывод формулы числа перестановок.
·Познакомить учащихся с основными статистическими характеристиками: среднее арифметическое, мода, размах.
·Умение находить основные статистические характеристики для конкретного ряда данных, а также из таблиц и диаграмм.
·Выработка умений находить основные статистические характеристики в несложных случаях, учащиеся должны понимать их практический смысл в конкретных ситуациях.
Ввести первые статистические характеристики можно, используя ряд чисел, составленный из оценок полученных за четверть. Для школьников очень актуален вопрос о том, какая оценка выйдет у них за четверть. Каждому учащемуся заранее можно выписать его оценки за четверть. Учитель выписывает на доске некоторый ряд оценок, и на его примере вводит понятия среднего арифметического и моды ряда чисел. Дети для закрепления этих понятий, находят эти статистические характеристики каждый для своего ряда.