Аналіз типової системи автоматичного регулювання температури в печі (стр. 3 из 4)

7. Розрахувати та побудувати перехідну характеристику системи автоматичного регулювання за каналом задаючої дії при нульових початкових умовах

Аналітичні методи побудови перехідних характеристик ґрунтуються на розв’язуванні диференціальних рівнянь системи. Найбільш поширеним методом є операторний метод з використанням теореми розкладання.

Зображення вихідної регульованої величини

Оскільки перехідна характеристика є реакцією системи на одиничний ступінчастий вхідний сигнал, зображення за Лапласом якого

[3, c.29], то

/6.1/

Отже, зображення перехідної функції має вигляд:

.

Знайдемо корені характеристичного рівняння замкненої системи D (p) = 0:

; /6.2/

p₁=-22.4706

p₂=-0.9869 + 2.2319j

p₃=-0.9869 - 2.2319j

У загальному випадку згідно теореми розкладу вираз для перехідної характеристики має вигляд [5, c.12]

/6.3/

Враховуючи, що при підстановці пари комплексних коренів у вираз /6.3/ значення дробів

/6.4/

В результаті сума доданків, що відповідають парі комплексно-спряжених коренів може бути зведена, з врахуванням формули Ейлера, до одного виразу:

/6.5/

Тоді вираз перехідної функції матиме вигляд

/6.6/

де

- дійсний корінь характеристичного рівняння /6.2/; - похідна від полінома знаменника передаточної функції; і - відповідно дійсна та уявнf частини пари комплексних чисел , , α і ω - відповідно дійсна та уявна частини пари комплексно-спряжених коренів p₂,p_3.

M (p) =5.5037;

D (p) =

;

;

Підрахуємо:

; /6.7/

; /6.8/

Відповідно

. /6.9/

=0,4813;

=2,622;

.

Підставивши у /6.6/, отримаємо рівняння перехідної характеристики:

/6.10/

Для графічної побудови перехідної характеристики обчислимо значення h (t) в точках:

t	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,5	2
h (t)	-0,00036	0,057818	0,242	0,482572	0,714802	0,896603	1,054382	0,938921

t	2,5	3	3,5	4	4,5	5
h (t)	0,818175	0,79644	0,829785	0,855775	0,857287	0,848411

t	5,5	6	6,5	7
h (t)	0,843086	0,843538	0,845765	0,846792

Рис.7. Перехідна характеристика системи за каналом завдання

8. Моделювання перехідних процесів за допомогою комп’ютерної програми SIAM

Рис. 8. Схема моделювання перехідних процесів системи автоматичного регулювання температури в печі у програмі SIAM.

Для моделювання перехідних процесів у системі автоматичного регулювання була побудована схема (рис.8), у якій задані наступні параметри моделі:

Задані параметри ланок:

K=1

K=0.84

K=13

Перехід від однієї форми передаточної функції коливної ланки

до іншої

здійснюється за формулами:

;

.

K=0.12

T=0.164

d=1.963

K=4.2

T=1.8

Метод моделювання: Фельберга.

Похибка: 0,001.

Початкове значення часу: 0.

Кінцеве значення часу: 7.

Результати моделювання в СИАМ показані на рис. 9.

Рис. 9. Перехідна характеристика, отримана в результаті моделювання в програмі SIAM.

Порівняємо отримані за допомогою моделювання результати із розрахованими за теоремою розкладу

t	0,000	0,212	0,424	0,636	0,848	1,061
h (t) СИАМ	0,0000	0,0660	0,2690	0,5270	0,7650	0,9380
h (t) розраховане	-0,00036	0,0660	0,2693	0,5265	0,7641	0,9386
δ,%	-	0,075	0,130	0,089	0,117	0,064

t	1,414	1,626	1,980	2,404	2,616	3,040
h (t) СИАМ	1,0550	1,0390	0,9450	0,8340	0,8050	0,7980
h (t) розраховане	1,0547	1,0393	0,9451	0,8341	0,8045	0,7981
δ,%	0,033	0,032	0,006	0,006	0,064	0,011

t	3,535	4,030	5,020	5,515	6,505	7,000
h (t) СИАМ	0,8325	0,8567	0,8483	0,8433	0,8460	0,8470
h (t) розраховане	0,8323	0,8565	0,8481	0,8430	0,8458	0,8468
δ,%	0,021	0,023	0,027	0,032	0,026	0,025

Різниця не перевищує 0,13% розрахованого значення h (t), отже результати комп’ютерного моделювання та аналітичного розрахунку практично співпадають.

Іншою комп’ютерною програмою, що дозволяє змоделювати перехідний процес в системі автоматичного регулювання, є система MATLAB, а саме пакет розширення Simulink.

Складена в Simulink модель:

Рис. 10. Схема моделі системи за каналом завдання у програмі Simulink.

В результаті моделювання отримали перехідну характеристику, зображену на рис.11.

Рис. 11. Перехідна характеристика за каналом завдання-вихід, побудована в Simulink.

9. Оцінка якості регулювання

Якість регулювання оцінюють за допомогою прямих показників якості, котрі визначаються за побудованою перехідною характеристикою досліджуваної системи.