Диагностирование характеристик вала с дисками по собственным частотам его крутильных колебаний (стр. 2 из 7)
Рассмотрение крутильных колебаний начнем с простейшего случая круглого вала постоянного сечения, несущего на свободном конце диск, верхний конец вала заделан (рис. 1).
Пусть в силу каких-либо причин диск (маховик), изображенный на чертеже, получил в плоскости вращения, которой является плоскость, перпендикулярная чертежу, перемещения на угол
. На тот же угол повернется и жестко связанный с диском вал. Представленная самой себе такая система будет совершать колебания, поддерживаемые силами упругости вала, заключающиеся в повторных вращательных движениях. 
Рис. 1 Вал с одним диском
Известно, что колебания, представляющие ряд повторных вращательных перемещений от положения равновесия, называются колебаниями кручения или, крутильными.
Установим величину нагрузки, вызывающей единицу статической деформации вала. Статической деформацией вала в данном случае будет угол закручивания, определяемый по известной формуле сопротивления материалов
(1.0) 
где М — крутящий момент;
—длина вала;Ip—полярный момент инерции вала;
— модуль касательной упругости.Нагрузкой, вызывающей единицу статической деформации, т. е. угол закручивания, равный одному радиану, будет из формулы (1.0) некоторый момент; будем обозначать этот момент буквой kи называть жесткостью вала на кручение.
(1.1)Если вал повернется на угол
, то в нем возникнет момент внутренних сил упругости, равный 
(1.1а)Этот момент по принципу Даламбера должен быть равен моменту сил инерции диска. (Массой вала мы пренебрегаем.) Если угловое ускорение обозначить
и момент инерции диска относительно продольной вертикальной оси вала
,где Q —вес диска, D—его диаметр, g— ускорение силы тяжести.
В случае кольцевого диска (шкив, колесо)
то момент сил инерции диска будет равен
(1.1b)Уравнение движения тогда будет иметь вид:
Освобождаясь от коэффициента при дифференциале
и обозначая
(1.2)получим
(1.3)Решение этого уравнения может быть представлено в виде:
(1.4)по аналогии получаем:
(1.5)Очевидно, что мы в данном случае получили простое гармоническое колебание.
Круговая частота этого колебания (равная угловой скорости) будет
(1.2а)и период колебания
(1.6)Формулы (1.2а) и (1.6) справедливы в окончательном виде только для сплошного диска постоянной толщины, в случае какого-либо другого диска частоту и период следует определять по формулам:
(1.2 
)и
. (1. 
)Вычисляем в них соответствующий момент инерции диска по формулам теоретической механики.
Рассмотрим теперь случай колебаний вала с диском (рис. 1), с учетом массы вала. Помимо полярного момента инерции сечения вала, воспользуемся выражением для экваториального момента инерции (массы) вала, известным из теоретической механики.
где I0 — экваториальный момент инерции,
W— собственный вес вала,
r—радиус вала.
Если вес единицы объема вала, т. е. его удельный вес, обозначить
, то I0 для круглого вала можно представить в виде: 
(2.b)и экваториальный момент единицы длины вала
(2.c)Для решения стоящей перед нами задачи удобнее всего воспользоваться уравнениями движения Лагранжа, поэтому, прежде всего, найдем кинетическую и потенциальную энергию нашей системы.
Кинетическая энергия системы будет слагаться из кинетической энергии диска и кинетической энергии вала. Кинетическая энергия диска
Для нахождения кинетической Энергии вала сначала найдем кинетическую энергию элемента его dc. Если угол закручивания в сечении с обозначить
, то кинетическая энергия элемента dcбудет 
так как если
— момент инерции единицы длины, то I0'dcмомент инерции элемента dc.Найдем зависимость между углом закручивания в сечении с-
и в сечении 
и 
откуда
или
и
Подставляя полученное значение
в выражение кинетической энергии элемента dc, получим: 
Полную кинетическую энергию вала найдем интегрированием:
Или заменяя на основе формул (b) и (с) на
получим окончательно: 
Полная кинетическая энергия системы
Потенциальная энергия системы
где M— крутящий момент, приложенный к валу. Для крутящего момента имеем выражение:
(1.1а)Подставляя это значение в выражение для потенциальной энергии, получим:
(2.1)Теперь можем составить дифференциальное уравнение колебательного движения нашего вала, что удобнее всего сделать в форме Лагранжа. В нашем случае за обобщенную координату необходимо принять угол закручивания
, тогда уравнение Лагранжа примет вид:
в этом уравнении
Находим значения частных производных, входящих в это уравнение:
Подставим полученные значения в уравнение Лагранжа
Освобождаясь от коэффициента при дифференциале и полагая