Математическая модель процесса вытяжки трубчатой заготовки (стр. 1 из 3)

Математическая модель процесса вытяжки трубчатой заготовки

1. Вариационные подходы к решению задач методом конечного элемента

Основная идея МКЭ основывается на замене некоторой непрерывной величины в пределах рассматриваемой области дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами (КЭ). Неизвестная искомая величина в пределах каждого КЭ аппроксимируется, как правило, полиномиальной функцией заданного вида с учётом требования непрерывности на границах смежных КЭ. При этом выбор формы конечного элемента и вида выражения, аппроксимирующего действительный закон изменения исследуемой величины в пределах КЭ, является одним из наиболее ответственных моментов в общей процедуре МКЭ, от которого существенно зависит точность приближённого решения. Таким образом, непрерывная в пределах исследуемой области неизвестная величина (например, перемещение, скорость перемещения, напряжение, температура и т. д.) представляется через конечное число её дискретных значений в узлах элементов.

Построение разрешающих уравнений МКЭ для решения задач механики деформируемых сред базируется на соответствующих вариационных принципах и вытекает из оптимизации некоторой интегральной величины (функционала), связанной с работой или мощностью напряжений и внешней приложённой нагрузки при соблюдении заданных граничных условий. В общем виде такой функционал с учётом действия массовых и поверхностных сил можно представить выражением:

,(1)

где A_Д - работа или мощность внутренних сил; A_М - работа или мощность, развиваемая массовыми силами; A_В - работа или мощность внешних сил.

Дальнейшая процедура МКЭ предусматривает представление выражения (2.1) в виде функционала значений, неизвестных только в узлах КЭ, и построение разрешающей системы уравнений путем минимизации J по всем узловым переменным:

(2)

Однако, указанный способ получения разрешающих уравнений для КЭ с помощью функционала (1) не является единственно возможным. В настоящее время уравнения для элементов получают путем минимизации функционала, связанного с рассматриваемым дифференциальным уравнением соответствующей задачи математической физики. Известны также конечно-элементные решения, основанные на методе Галеркина. В последнем случае отпадает необходимость в вариационной формулировке задачи.

Способ получения разрешающих уравнений для КЭ, основанный на оптимизации функционала (1), является общепризнанным при теоретическом решении задач ОМД, поскольку вариационные принципы имеют наглядный физический смысл и достаточно строгое математическое обоснование.

По отношению к функционалу (1) известны три вида вариационных принципов теории пластичности в зависимости от того, через какие переменные величины выражена мощность (потенциальная энергия) деформации.

Принцип минимума полной мощности (полной энергии) или принцип возможных изменений деформированного состояния рассматривает мощность (потенциальную энергию) деформируемого тела как функционал произвольной системы скоростей (перемещений), удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, и который принимает минимальное значение для системы скоростей (перемещений), фактически реализуемой в деформируемом теле.

Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно или принцип возможных изменений напряжённого состояния рассматривает дополнительную работу как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, и который принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в деформируемом теле.

В вариационном принципе Рейсснера или принципе возможных изменений напряжённого и деформированного состояний мощность (энергия) рассматривается как функционал скоростей и напряжений, и переменные той и другой группы варьируются независимо друг от друга.

Каждому из перечисленных вариационных принципов соответствует определённая форма МКЭ. Принципу минимума полной мощности (полной энергии) соответствует кинематический метод, принципу минимума дополнительной работы - метод напряжений, а вариационному принципу Рейсснера - смешанный метод.

При нагружении тела потенциальная энергия внешних сил изменяется. При этом внешние силы совершают работу. Потенциал внешних сил Q на возможных перемещениях δu численно равен работе этих сил:

(3)

где P_i – поверхностные силы, S – площадь поверхности тела.

В результате изменения потенциальной энергии внешних сил тело деформируется и накапливает потенциальную энергию деформации W

(4)

где s_ij - компоненты тензора напряжения, e_ij - компоненты тензора деформации, V – объём тела.

Сумма энергии деформации и потенциала внешних сил равна полной потенциальной энергии:

(5)

В соответствии с принципом возможных перемещений Лагранжа изменение полной потенциальной энергии на возможных перемещениях равняется нулю:

(6)

При этом под возможными перемещениями du понимаются сколь угодно малые отклонения системы от положения равновесия, допускаемые наложёнными на систему связями. Из уравнения (6) следует, что в состоянии равновесия энергия П имеет стационарное значение. Можно показать, что в положении устойчивого равновесия этот экстремум соответствует минимуму.

С учётом изложённого вариационное уравнение Лагранжа для статической задачи имеет вид:

(7)

Минимизируя потенциальную энергию по возможным перемещениям, получаем систему линейных уравнений, решая которую определяем значения внешних сил.

2. Основные соотношения метода конечных элементов

Простейшим элементом, применяемым для решения осесимметричной задачи механики деформируемого твердого тела, является тороидальный элемент с тремя узлами, расположёнными в вершинах треугольного сечения (Рис. 1.).

Рис. 1.Конечный элемент в задаче осесимметричной деформации

Вектор перемещений узловых точек конечного элемента в случае осесимметричной деформации имеет вид:

.(8)

Произвольная точка элемента получает перемещения u_r и u_z в направлении осей r и z. Поэтому матрица u имеет вид:

.(9)

Узловые перемещения

и u связаны между собой матрицей аппроксимирующих функций N:

(9’)

Наиболее распространен способ получения приближённых решений на основе использования вариационного уравнения по методу Релея - Ритца. Он заключается в том, что функции перемещений задаются в виде интерполяционного полинома. Если ограничиться полиномом первой степени, то эти функции будут иметь вид:

(10)

Здесь a_i - произвольные постоянные. При линейной аппроксимации стороны треугольника после деформирования элемента остаются прямыми.

Выразим a_i через перемещения узлов элемента. В результате матрица N примет вид:

(11)

S - площадь сечения элемента:

,(12)

где r_i, z_i - координаты i-го узла в соответствующих осях.

Деформированное состояние в любой точке тела описывается тензором малых деформации Коши:

(13)

В условиях осесимметричной задачи тензор деформации второго ранга сводится к вектору:

(14)

компоненты которого выражаются через производные перемещений по соответствующим координатам:

.(15)

Связь между составляющими векторов деформации и перемещений можно представить одним матричным равенством:

(16)

где B – матричный дифференциальный оператор:

.(17)

Используя (16) и (17), можно выразить деформации через узловые перемещения

.(18)

Матрица функций формы C для осесимметричной деформации:

.(19)