Обработка металла давлением (стр. 8 из 9)
3.3 Планирование эксперимента
Для проектирования технологического процесса осадки кольцевых заготовок представляет интерес получения регрессионных зависимостей, приближенно описывающих зависимость поведения осадки кольца (усилие процесса и радиальное перемещение внутренних узлов) от геометрических размеров заготовки. С этой целью рационально использовать аппарат математической статистики и теории планирования многофакторного эксперимента на основе результатов машинного эксперимента. Используя результаты предварительных экспериментов в реальном диапазоне изменения геометрических размеров заготовки, в качестве варьируемых входных факторов, были выбраны:
· диаметр заготовки – D;
· отношение толщины к высоте – S/H;
· трение -
.В качестве выходных параметров (функции отклика), характеризующих процесс осадки зоготовок, приняты усилие процесса и перемещение узлов.
Задача сводится к построению вторичной математической модели зависимости усилий от факторов, характеризующих геометрию заготовки.
Предварительный анализ показал, что эти зависимости имеют не линейный характер, поэтому для их описания использовали полиномиальную модель второго порядка:
y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b11x12 + b22x22 + b33x32 + b12x1x2 + b23x2x3 + b13x1x3,
где y – значение выходного параметра (функции отклика);
b0, bi, bii, bij – коэффициенты регрессии;
xi, xj – кодированные значения входных параметров.
Xi = (Xi – Xi0)/
Xi,где Xi – натуральное значение фактора;
Xi0 – натуральное значение основного уровня:
Xi0 = (Ximax + Ximin)/2;
Xi – интервал варьирования: Xi = (Ximax - Ximin)/2,i – номер фактора,
k – количество факторов.
Оценить математическую модель изучаемого явления можно по статистическим критериям оптимальности планов [31]. Структура построения
- оптимальных планов на кубе была предложена Боксом и Дрейпером [34]. Эти планы выбирают из множеств точек, указанных в таблице 3.1.Таблица 3.1.
Способ построения насыщенных
- оптимальных планов Бокса и Дрейпера | Номер множества | Точки множества | Число опытов множества |
| 1 | (-1,..., -1) | 1 |
| 2 | (+1, -1,..., -1) |  |
| 3 | (  , , -1,..., -1) | ( -1) · /2 |
| 4 | (  , +1,..., +1) | |
Значения
и , которые приведены в таблице 3.1, для планов разных размерностей Бокс и Дрейпер получили из критерия - оптимальности, максимизируя определитель информационной матриц [34]. - оптимальным планом называют такие планы, которым соответствуют минимальный определитель матрицы 
или, что тоже самое, максимальный определитель информационной матрицы 
. Определитель ковариационной матрицы пропорционален объему эллипсоида рассеяния [51]. Следовательно, - оптимальность приводит к получению эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов минимального объема. В статистическом смысле - оптимальность обеспечивает минимум обобщенной дисперсии всех оценок коэффициентов.В качестве плана эксперимента был выбран насыщенный D-оптимальный план Бокса и Дрейпера на кубе для k=3 со следующими приведенными параметрами [31]:
= 1,45 - определитель нормированной ковариационной матрицы М, 
= 1,59 - средняя по области планирования дисперсия оценки модели,tr = 1,93 - след нормированной ковариационной матрицы М,
= 3,80 - максимальное собственное значение нормированной ковариационной матрицы М,eD = 1,00 - близость плана к D-оптимальному:
,где
- характеристика D-оптимального плана.В таблице 3.2 представлена матрица планирования эксперимента, где через –1,0,+1 обозначены соответственно нижний, основной и верхний уровни рассматриваемых факторов.
Таблица 3.2
Матрица планирования эксперимента
| № п/п | x1 | x2 | x3 |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | -1 +1 -1 -1 0.1925 0.1925 -1 -0.2912 +1 +1 0 | -1 -1 +1 -1 0.1925 -1 0.1925 +1 -0.2912 +1 0 | -1 -1 -1 +1 -1 0.1925 0.1925 +1 +1 -0.22912 0 |
В таблице 3.3 приведены уровни факторов, соответствующие реальным условиям процесса осадки кольцевых заготовок.
Таблица 3.3
Уровни факторов и интервалы варьирования
| Обозначение фактора | x1 | x2 | x3 |
| Наименование фактора | D | S/H |  |
| Область эксперимента | |||
| Основной Уровень | 125 | 0,6 | 0,3 |
| Интервал Варьирования | 75 | 0,3 | 0,2 |
| Нижний уровень | 50 | 0,3 | 0,1 |
| Верхний уровень | 200 | 0,9 | 0,5 |
Через х1,х2,х3 обозначим кодовое значение факторов, которые связаны с действительными значениями следующими соотношениями:
, 
, 
.Необходимые расчеты по определению коэффициентов регрессиибыли выполнены по программе Ram3_10.exe, разработанной на кафедре МПФ ТулГУ. Опыты в плане эксперимента не дублировались. Дисперсия воспроизводимости (опыта) определялась при проведении трех дополнительных опытов на нулевом уровне с 5%-ным отклонением по взятым наугад строчкам плана. После обработки результатов были получены уравнения регрессии.
С учетом рассчитанных коэффициентов уравнения регрессии для выходных параметров, характеризующих усилие процесса и перемещение внутренней поверхности кольца, примут вид:
у1= 4,2506 + 4,1975x1 + 0,95372x2 + 0,38085x3 +0,44997x1x2 + 0,46786x2x3 + 1,7021x12;
y2= – 0,6 – 0,834x1 – 6x2 – 2,36x3 – 2,39x1x2 – 1,59x1x3 – 2,18x2x3 + 5,6x22 – 1,98x32;
где у1 и у2- усилие и перемещение соответственно.
Полученная математическая модель проверялась на адекватность с помощью F-критерия (критерия Фишера), значимость коэффициентов модели - по t-критерию Стьюдента при уровне значимости 5% [30,51].
Полученные уравнения регрессии дают возможность определить усилие осадки и перемещение узлов кольца при любом сочетании указанных факторов из их области определения.