Исследование систем автоматического управления (САУ) (стр. 2 из 3)
Wэу(S) =
= kэу.Следовательно, электронный усилитель представлен пропорциональным звеном и описываются уравнением:
Uу(S) = 35×Uq (S).
2.4 Двигатель постоянного тока
Рассмотрим участок системы, включающей ТП и двигатель. Входной величиной этого участка является Uд(t), а выходной — угловая скорость w(t) двигателя.
Найдем уравнение, связывающее w(t) и Uд(t).
Уравнение Uд(t) в электрической цепи, состоящей из ТП и обмотки якоря двигателя, имеет вид:
Uд(t) =
, <1>где Rd – активное сопротивление обмоток и щеток двигателя;
Ld – индуктивность щеток;
eд(t) =
- противо ЭДС двигателя.
Можно считать, что магнитный поток двигателя Ф = const,
тогда:
eд(t) =
; 
; <2>Подставляя <2> в <1> получим:
Uд(t) =
<3>Формула <3> - уравнение Uд(t) в рассматриваемой цепи. Однако в этой цепи есть и механическая энергия, поэтому необходимо составить уравнение моментов:
Mвр =
; <4>где J – момент инерции всех вращающихся частей, приведенных к валу двигателя, Нмс2;
Mc – приведенный момент сопротивления рабочего механизма.
Момент вращения двигателя
Mвр =
или учитывая, что Ф = const,
Mвр =
; 
.Подставив Mвр в уравнение моментов, получим:
= ; <5>Примем MC = 0, тогда
= 
; <6>Находим i из <6> и подставляем его в уравнение <3>:
Uд(t) =
<7>или
; <8>где
- электромагнитная постоянная времени цепи;
- электромеханическая постоянная времени цепи;
.Характер переходной функции двигателя зависит от значений Тэ и Тм. Так как Тм = 0.833 с, Тэ = 0.02 с, то
.Тогда при
получим <9>Запишем <9> в операционной форме:
<10>откуда передаточная функция рассматриваемого участка:
Wд(S) =
. <11>Полученная передаточная функция соответствует передаточной функции апериодических звеньев.
2.5 Редуктор
Угол поворота приемного вала определяется соотношением:
.Запишем это уравнение в операционной форме:
.Передаточная функция звена:
Wред(S) =
.Следовательно, динамической моделью редуктора является интегрирующее звено.
3. Дифференциальные уравнения и передаточные функции САУ
3.1 Структурная схема САУ
Структурная схема САУ представляет собой графическое изображение математической модели системы и отражает ее динамические свойства. Для получения структурной схемы САУ необходимо заменить временные уравнения на их изображения, представленных в операторном виде.
Рис.3 Структурная схема САУ
В приведенной на рис.3 системе нет местных обратных связей, и поэтому имеется только один замкнутый контур, образованный с помощью главной отрицательной обратной связи.
3.2 Дифференциальное уравнение и передаточная функция разомкнутой САУ
Размыкаем схему на рис.3 перед элементом сравнения (цепь обратной связи) и разворачиваем в прямую цепь. Для разомкнутой САУ входной величиной является угол рассогласования q(t), а выходной величиной - угол поворота b(t) вала рабочего механизма.
Передаточная функция разомкнутой САУ представляет собой произведение передаточных функций каждого звена:
Wр(S) =
,где коэффициент усиления разомкнутой САУ kv определяется как произведение:
kv = kпот×kред×kтп×kэу×kд = 70×35×20×2,5×1/350 = 350.
Тогда передаточная функция разомкнутой САУ примет вид:
Wр(S) =
.Для данной передаточной функции разомкнутой САУ получим следующее дифференциальное уравнение:
3.3 Дифференциальное уравнение и передаточная функция замкнутой САУ
Замыкаем цепь обратной связи. Для замкнутой системы входной величиной является угол поворота входного вала a(t), а выходной - угол поворота b(t). В замкнутом состоянии величина q(t) представляет собой рассогласование:
q(t) = a(t) - b(t).
Передаточную функцию замкнутой САУ можно определить следующим образом:
3.4 Дифференциальное уравнение и передаточная функция ошибки. Исследование САУ на астатизм
Ошибка q(t) характеризует точность воспроизведения следящей системой входной величины. В качестве входной величины следует принять угол поворота a(t), а выходной - угол рассогласования q(t).
Уравнению ошибки соответствует передаточная функция:
Исследуем САУ на астатизм по полученной передаточной функции ошибки:
А) определяем С0:
.так как С0 = 0, то эта система астатическая;
Б) определяем С1:
так как
, то система является астатической первого порядка.4. Исследование устойчивости исходной замкнутой САУ
4.1 Исследование устойчивости САУ по критерию Гурвица
Критерием, пригодным для оценки устойчивости уравнений порядка выше третьего, является критерий немецкого математика Гурвица. Составим характеристическое уравнение исходной замкнутой САУ:
Обозначим
; 
; 
; 
.Составим определитель Гурвица по определению:
;Составим диагональные миноры:
; 
; 
Итак, получаем, что
; 
; 
, т.е. условие устойчивости системы не выполняется, а следовательно система по критерию Гурвица неустойчива.4.2 Исследование устойчивости САУ по критерию Найквиста
В соответствии со структурной схемой (рис.3) АЧХ и ФЧХ разомкнутой САУ можно представить в виде произведения АЧХ и суммы ФЧХ элементарных динамических звеньев:
а) интегрирующего звена:
, 
;б) апериодического звена первого порядка:
, 
;в) апериодического звена первого порядка:
, 
;г) апериодического звена первого порядка: