Сопротивление материалов (стр. 3 из 12)
Эпюры внутренних усилий при кручении
Кручением называется простой вид сопротивления, при котором к брусу (валу) прикладываются внешние пары сил в плоскостях, совпадающих с поперечным сечением вала, а в последних возникает только внутренний крутящий момент.
Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2М и распределенными по длине: m, рис.2.
Методика построения эпюры аналогична только что рассмотренной методике при растяжении-сжатии.
В исходных сечениях № 1,2 и 3 задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М1, М2, М3. Пусть М=ml.
Для первого участка (рис.2 б):
Для второго участка (рис.2 в):
Для третьего участка (рис.2 г):
Границы измерения параметра х3 в следующей системе координат:
Тогда:
Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис.2 д).
4. Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе
Ключевые слова: поперечная сила. Внутренний изгибающий момент.
Прямым изгибом называется такой вид простого сопротивления, когда внешние силы приложены перпендикулярно продольной оси бруса (балки) и расположены в одной из главных плоскостей в соответствие с конфигурацией поперечного сечения балки.
Как известно, при прямом изгибе в поперечном сечении возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила и внутренний изгибающий момент.
Рассмотрим пример расчетной схемы консольной балки с сосредоточенной силой Р, рис. 1, а, но…
Предварительно рекомендую Вам вспомнить из раздела "Статика" теоретической механики методы расчета реакций в связях на примерах тестов, приведенных в ПРИЛОЖЕНИИ по разделом Т-2.
Прежде всего вычислим реакции в связи на базе уравнений равновесия:
После мысленного рассечения балки нормальным сечением 1-1 рассмотрим равновесие левой отсеченной части (рис.1, б), получим:
Таким образом, на первом участке поперечная сила отрицательная и постоянная, а внутренний изгибающий момент изменяется по линейному закону.
Для правой отсеченной части при рассмотрении ее равновесия результат аналогичен рис.1, в. А именно:
На основании полученных значений строятся эпюры поперечных сил (рис.1, г) и внутренних изгибающих моментов (рис.1, д).
Как следует из построенных эпюр
, а 
в сечении жесткой связи. Именно это сечение и является наиболее опасным в данной расчетной схеме.Продифференцируем выражение внутреннего изгибающего момента по координате х:
Как видим, после дифференцирования получено выражение для поперечной силы. Случайность это или закономерность? - Закономерность.
Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями при изгибе
Рассмотрим расчетную схему балки с произвольной распределенной нагрузкой
(рис.2). 
Составим уравнение равновесия:
Таким образом, действительно: первая производная от внутреннего изгибающего момента по линейной координате равна поперечной силе в сечении.
Это известное свойство функции и ее первой производной успешно используется при проверке правильности построения эпюр. Так, для расчетной схемы консольной балки (рис.1) эта связь дает следующие проверочные результаты:
и М убывает от 0 до -Pl. 
и М х.Таким образом, для квалифицированной проверки Вам рекомендуется вспомнить из высшей математики раздел, связанный с вычислением производных функции. Считаю целесообразно решить тесты, приведенные в ПРИЛОЖЕНИИ под разделом Т-3.
Рассмотрим ВТОРОЙ ХАРАКТЕРНЫЙ ПРИМЕР ИЗГИБА двухопорной балки (рис.3).
Очевидно, что опорные реакции RA = RB
:для первого участка (рис.3, б)
для второго участка (рис.3, в)
Эпюры внутренних усилий представлены соответственно на рис.3, г и 3, д.
На основе дифференциальной связи Q и М, получим:
для первого участка:
Q > 0 и М возрастает от нуля до
.Q = const и M x
для второго участка:
Q < 0 и М убывает с
до нуля.Q = const и M также пропорционален х, т.е. изменяется по линейному закону.
Опасным в данном примере является сечение балки в центре пролета:
Третий характерный пример связан с использованием распределенной по длине балки нагрузки (рис.4). Следуя методике, принятой ранее, очевидно равенство опорных реакций:
,а для искомого сечения (рис.4, б) выражения для внутренних усилий приобретают вид:
На обеих опорах изгибающий момент отсутствует. Тем не менее опасным сечением балки будет центр пролета при
. Действительно, исходя из свойства функции и производной при 
, внутренний изгибающий момент достигает экстремума. Для нахождения исходной координаты х0 (рис.3 в) в общем случае приравняем выражение поперечной силы к нулю. В итоге получим 
После подстановки
в выражение изгибающего момента получим: 
Таким образом,
. Необходимо отметить, что техника построения эпюр при изгибе наиболее трудно усваивается слушателями. Вам представляется возможность научиться "быстрому" построению эпюр на тесторе-тренажере, приведенном в ПРИЛОЖЕНИИ под грифом Т-4.
5. Понятие о напряжениях и деформациях
Ключевые слова: нормальное и касательное напряжения, линейная и угловая деформации, тензор напряжений.
Как отмечалось выше, внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны отброшенной части тела, можно привести к главному вектору и главному моменту. Зафиксируем точку М в рассматриваемом сечении с единичным вектором нормали n. В окрестности этой точки выделим малую площадку F. Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим через P (рис. 1, а). При уменьшении размеров площадки соответственно уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних сил, причем главный момент уменьшается в большей степени. В пределе при F0 получим
Аналогичный предел для главного момента равен нулю. Введенный таким образом вектор рn называется вектором напряжений в точке. Этот вектор зависит не только от действующих на тело внешних сил и координат рассматриваемой точки, но и от ориентации в пространстве площадки F, характеризуемой вектором n. Совокупность всех векторов напряжений в точке М для всевозможных направлений вектора n определяет напряженное состояние в этой точке.
В общем случае направление вектора напряжений рn не совпадает с направлением вектора нормали n. Проекция вектора рn на направление вектора n называется нормальным напряжением sn, а проекция на плоскость, проходящую через точку М и ортогональную вектору n, - касательным напряжением n (рис. 1 б).