Численное исследование движения системы "газовая струя – жидкость" (стр. 5 из 6)

В эти уравнения как неизвестные величины входят функция тока

и вихрь , зависящие от координат rи z. Турбулентное число РейнольдсаReнаходится по полуэмпирическому соотношению, приведенному в [10].

3.3 Приближенное решение уравнений Навье – Стокса

Численные методы решения системы уравнений (3.3) - (3.4) приведены в [21]. Однако их практическая реализация вызывает определенные трудности по причине отсутствия граничных условий для функции

на твердых поверхностях. В данной работе приведено приближенное решение задачи, в котором использован метод, обычно называемый методом последовательных приближений.

Выбирая “нулевое” приближение

, находим из (3.4)

(3.5)

из (3.3) получаем уравнение для нахождения более точного приближения:

(3.6)

Интегрирование производим в области, заимствованной из работы [10] и показанной на рисунке 3.1

Решение, приведенное в этой работе, условно принимаем за точное решение.

Рисунок 3.1 - Область интегрирования

В качестве “нулевого" приближения выбираем функцию

, (3.7)

где С - безразмерный коэффициент. Приводя ее к безразмерному виду, получаем

. (3.8)

На рисунке 3.2 показаны линии уровня для начального приближения функции тока.

Рисунок 3.2 - Линии уровня

В этой формуле штрихи у безразмерных величин и индекс “ж” для удобства записи опущены. Легко видеть, что

, если , т.е. на большей части границы области.Подставляя (3.8) в (3.5), находим

, (3.9)

причем

, если , т.е. на оси симметрии и на свободной поверхности жидкости, что соответствует [10].

На рисунке 3.3показаны линии уровня для начального приближения вихря скорости.

Рисунок 3.3 - Линии уровня

Подставляя (3.9) в (3.6) находим:

(3.10)

Для удобства записи перепишем уравнение (3.10) в форме:

, (3.11)

где A (r,z), B (r,z), C (r,z) - известные функции;

Reтурбулентный аналог числа Рейнольдса.

Заменим исходную функцию

сеточной функцией [22, 23]:

,

i=0. N-1;

J=0. M-1;

;

.

Заменим производные разностными отношениями:

; (3.12)

. (3.13)

Подставляя (3.12), (3.13) в (3.11) получаем:

. (3.14)

Выражая

из (3.14) получим:

. (3.15)

Учитывая, что на границе области функция тока

равна нулю получаем начальные условия, которые необходимы для решения (3.15):

; (3.16)

. (3.17)

Данная схема имеет первый порядок аппроксимаций по координатам r,zи устойчива при

1.

3.4 Анализ результатов исследования

В работе [10] в качестве примера были выполнены расчеты поля скоростей в ванне 130-тонного конвертера с радиусом ванны равным 2м, высотой ванны 1,6м, при радиусе лунки равным 0,4м, глубине лунки 1,05м. На рисунке 3.4 показано распределение функции тока в меридиональной плоскости которое получили авторы работы [10]. В качестве турбулентного аналога числа Рейнольдса была взята единица.

Рисунок 3.4 - Распределение функции тока в меридиональной плоскости

Взяв такие же геометрические характеристики конвертера и межфазной поверхности, а так же число Рейнольдса за единицу, решая уравнение (3.15) с начальными условиями (3.16) - (3.17) были получено распределение функции тока в меридиональной плоскости представленные на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5 - Распределение функции тока в меридиональной плоскости

Из рисунка 3.5 видно, что под действием вдуваемой струи в расплаве образуется тороидальный вихрь с движением вблизи стенок ко дну ванны, а в приосевой зоне - к свободной поверхности. Максимальные значения осевой скорости - на уровне центра вихря, а радиальной - у свободной поверхности. Вблизи стенок и на дне ванной составляющие скорости малы, с интенсивным затуханием от свободной поверхности ко дну.

Заключение

В заключение приведем основные результаты, полученные в работе, и сделаем некоторые выводы.

В дипломной работе:

1) представлена математическая модель, описывающая силовое взаимодействие турбулентной газовой струи с ограниченным объемом несжимаемой вязкой жидкости;

2) составлена программа, позволяющая рассчитывать:

течение газа в сопле Лаваля с применением газодинамических формул для трубы переменного сечения;

основные характеристики турбулентной газовой струи по методу Л.А. Вулиса;

геометрические характеристики межфазной поверхности на основе теории проникания М.А. Лаврентьева;

поле течения жидкости путем решения уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока - вихрь скорости;

3) установлено, что температура газа в трубопроводе не влияет на гидродинамику процесса и не является управляющим параметром;

4) установлено, что площадь межфазной поверхности изменяется немонотонным образом, и получена функция, аппроксимирующей зависимость оптимальной высоты поднятия фурмы от давления в газопроводе;

5) впервые уравнения Навье-Стокса решены численно методом последовательного приближения.

В заключение можно сделать следующие выводы:

1) полученные результаты могут быть использованы при создании общей физико-математической модели кислородно-конвертерного процесса;

2) в связи с использованием в модели турбулентности по Рейнольдсу возникает проблема нахождения зависимости турбулентного числа Рейнольдса от управляющих параметров (давление в газопроводе, критический диаметр сопла, высота поднятия фурмы);

3) площадь межфазной поверхности следует определять, учитывая вытеснение жидкости в резервуаре, так как оно приводит к ее увеличению;

4) так как конвертер имеет грушевидную форму, а межфазная поверхность близка к параболоиду, то возникает необходимость создания расчетной схемы на основе криволинейной сетки;

5) следует также разработать математическую модель, теплообмена в окрестности межфазной поверхности с учетом химических реакций, протекающих на ней.

Литература

1. Дейч М.Е. Гидрогазодинамика [текст] / М.Е. Дейч, А.Е. Зарянкин. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 381с.

2. Дейч М.Е. Техническая газодинамика [текст] / М.Е. Дейч. - М.: Госэнергостат, 1974. - 437с.

3. Вулис Л.А. Теория струй вязкой жидкости [текст] / Л.А. Вулис, В.П. Кошкаров. - М.: Наука, 1965. - 429 c.

4. Лаврентьев М.А. Проблемы гидродинамики и их математические модели [текст] / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973. - 416 с.

5. Горбунов К.С. Аналитическое решение задачи о динамическом взаимодействии газовой струи с несжимаемой жидкостью [текст] / К.С. Горбунов // Математические и экономические модели в оперативном управлении производством. - М.: Электрика. - 1998. - № 8. - С.32-33.

6. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа [текст] / Л.Г. Лойцянский. - М.: Наука, 1970. - 904 с.

7. Явойский В.И. Теория продувки сталеплавильной ванны [текст] / В.И. Явойский, Г.А. Дрофеев, И.Л. Повх. - М.: Металлургия, 1974. - 495 с.

8. Баптизманский В.И. Теория кислородно-конвертерного процесса [текст] / В.И. Баптизманский. - М.: Металлургия, 1975. - 376 с.