Визначення характеристик вала з дисками (стр. 3 из 7)
Перетин, що залишається під час коливання системи нерухливим, називається вузлом коливання.
Періоди коливань однакові для обох частин того самого вала можуть бути знайдені з формули (1.6),
(2.3)Завдання, таким чином, зводиться до визначення розташування вузла коливань по довжині вала, тобто довжин l1 і l2. Рівняння (2.3) показує, що вузол коливання ділить вал назад пропорційно моментам інерції дисків, тобто
або 
Друге рівняння для визначення положення вузла коливань буде
З рівнянь одержимо
і 
і період коливання прийме вид
(2.4)частота коливань буде:
(2.5)Для вивчення випадків коливання валів з більшим числом дисків, чим два, зручніше на відміну від вищенаведених випадків вала з однієї й двома масами знайти рівняння руху вала з довільною кількістю мас і потім застосовувати його для будь-якої частки випадку.
1.2 Рішення прямого завдання для вала з n-дисками
Розглянемо вал, що несе дисків. Нехай кути закручування вала в місцях насадки диска будуть відповідно
Твердості I, II,..., n-1 ділянок вала, тобто на основі позначення (1.1) моменти, які можуть викликати кут закручування даної ділянки рівний одному радіану, позначимо: k1, k2,…,kп-1. Моменти інерції дисків як і раніше позначимо I1,I2,..,In. Для одержання рівняння коливального руху розглянутої нами системи застосуємо рівняння Лагранжа, при користуванні якими необхідно знати вираження для кінетичної й потенційної енергії системи. Кінетична енергія диска, що має момент інерції I і кут закручування 
, виражається формулою
Кінетична енергія нашої системи складається із суми кінетичної енергії всіх дисків (кінетичну енергію вала ми отут не враховуємо, уважаючи момент інерції диска більшим у порівнянні з моментом інерції вала).
Кінетична енергія всієї системи
(2.6)Для знаходження потенційної енергії системи, що є в цьому випадку енергією крутіння, необхідно користуватися формулою
,де М - крутний момент, що діє на даній ділянці, а
- кут закручування тієї ж ділянки. Знайдемо крутний момент і кут закручування для першої ділянки нашої системи.Якщо в місці насадки першого диска кут закручування
, а в місці насадки другого диска — 
2, то кут закручування на ділянці вала між дисками буде: 
(2.7)Для того щоб викликати кут закручування першої ділянки вала завбільшки I радіан, необхідно прикласти крутний момент величини k1, якщо ж, як у нашім випадку кут закручування має
1- 2 радіан, то на валу діє крутний момент величини 
У нашім випадку кути закручування для ділянок вала будуть:
(2.8)і крутний моменти:
(2.9)Тепер можемо скласти вираження для потенційної енергії системи, підсумовуючи потенційну енергію ділянок.
(2.10)(тому що
те, підставляючи значення 
1 з (2.8) і M1 з (2.9) і аналогічно для інших ділянок одержимо формулу (2.10)).У цьому випадку система має п ступенів волі, чому відповідає п узагальнених координат. Узагальненими координатами є кути закручування вала в місцях насадки дисків. Рівняння Лагранжа, мабуть, прийде скласти по числу ступенів волі, тобто також п. Для користування рівнянням Лагранжа у вигляді
(2.11)необхідно знайти частки похідні від кінетичної й потенційної енергії системи, по узагальнених координатах
і частки похідні від кінетичної енергії по диференціалах узагальнених координат: 
Диференціюючи рівняння (2.6) знайдемо:
; 
і диференціюючи рівняння (2.10)
; 
; 
;……; 
Диференціюючи рівняння (2.6) по
одержимо: 
Отримані рівняння необхідно диференціювати за часом
Маючи у своєму розпорядженні знайденими вище величини, можемо скласти систему диференціальних рівнянь руху розглянутої системи.
(2.12)Для рішення отриманої системи диференціальних рівнянь думаємо, що кожний коливальний рух системи (їх буде стільки ж, скільки й ступенів волі, тобто п) буде простим гармонійним. Приватні рішення системи (2.12), можна представити у вигляді:
. (2.13)У цих рівняннях як і раніше М амплітуда коливання, і р частота. Знаходимо другу похідну від
за часом: 
.Аналогічно,
Підставляючи значення
й 
у рівняння системи (2.12), одержимо систему звичайних рівнянь із багатьма невідомими для визначення частоти коливання р.
Скорочуючи в даних рівняннях на
одержимо остаточно 
(2.14)Послідовно крім невідомого
, одержимо рівняння для визначення частоти р. Рівняння для визначення частоти власних коливань, отримане в результаті виключення 
з рівнянь (2.14), називається характеристичним. Рівняння (2.14) можуть бути застосовані для визначення числа власних крутильних коливань системи з довільним числом дисків. У тих випадках, що коли вийшло характеристичне рівняння має високий ступінь відносно р2 (що буває при системі з багатьма дисками), воно може бути вирішене графічно або яким-небудь наближеним методом.