Проектирование системы автоматического управления (стр. 2 из 3)
Дифференциальное уравнение системы.
Спектральная характеристика системы определяется по формуле
Спектр выходного сигнала системы:
Спектральная характеристика системы: 
Рис.10. Переходная функция, построенная спектральным методом
Рис.11. Реакция на
Фазовый сдвиг
2. Синтез регулятора
Так реальная переходная характеристика системы не удовлетворяет поставленным требованиям
, необходимо произвести коррекцию системы. В качестве корректирующего устройства ПИД –регулятор 
.Эталонная переходная характеристика
Необходимо минимизировать следующую целевую функцию.
Метод оптимизации Дэвидона, Флетчера, Пауэла.
Согласно данному методу минимум ищется в направлении
- ищется на каждом шаге мини минимизацией 
- некоторая симметричная положительно определённая матрица, которая при 
переходит в матрицу Гессе. Обычно при 
достоинства этого метода высокая скорость сходимости, простота вычисления
- будем искать методом золотого сечения.Параметры регулятора:
Рис.12. Графики переходных характеристик системы
3. Синтез робастного регулятора матричным методом.
Одним из возможных и перспективных способов решения задачи синтеза регуляторов является использования метода матричных операторов. Достоинством данного метода является возможность его применения для различных классов систем, в том числе нелинейных и нестационарных.
Рассмотрим линейную систему без неопределенности, описываемую в форме матричных операторов:
Очевидно, что для линейной системы без неопределенности справедливы следующие зависимости:
; 
; 
.Получаем следующую формулу расчета спектральной характеристики выходного сигнала:
Спектральная характеристика невязки между эталонной и реальной переходными характеристиками имеет вид:
,где
– варьируемые параметры корректирующих устройств, подлежащие определению.В приведенной формуле используется зависимость
, усложняющая вычислительный процесс. Можно воспользоваться другим, более простым подходом. Определим спектральную характеристику невязки следующим образом: 
.Перейдем к системе с неопределенностью:
,где
– матричный оператор объекта, элементы которого зависят от 
.Необходимо минимизировать целевую функцию вида:
,где
– число элементов выборки.Полученный функционал содержит полную информацию о параметрической неопределенности.
В качестве корректирующего устройства выберем ПИД-регулятор:
.Пусть выборка составляет 1000 элементов. В качестве эталонного сигнала выберем
. В качестве ортонормированного базиса выберем систему функций Уолша (128 функций). Интервал исследования – 
. 
имеют интервальную неопределённость 20%Приведем здесь клетку
матричного оператора интегрирования: 
Получены следующие значения коэффициентов регулятора:
Несколько примеров для произвольно взятых
, на которых представлены переходные характеристики эталонной системы и 4-х из семейства систем представлены на рис. 13. 
Рис. 13. Графики эталонной и реальной переходных характеристик для разных значений параметра
: 
, 
, 
, 
, 
Приложение.
Программа 1.
Решения уравнения методом Стеффенсена.
function Stefens
clc
e=10.^-5;
x=-20;
x1=0;
i=0;
As=0.0125*(x.^3)+0.3*(x.^2)+4.886*x+61.72;
x=x-(As.^2)./((0.0125*((x+As).^3)+0.3*((x+As).^2)+4.886*(x+As)+61.72)+As);
As=0.0125*(x.^3)+0.3*(x.^2)+4.886*x+61.72;
A(1)=x;
i=i+1;
while abs(x-x1)>e
x1=x;
x=x-(As.^2)./((0.0125*((x+As).^3)+0.3*((x+As).^2)+4.886*(x+As)+61.72)+As);
As=0.0125*(x.^3)+0.3*(x.^2)+4.886*x+61.72;
A(i+1)=x;
i=i+1;
end
plot(1,A(1));
hold on
for n=1:i
plot(n,A(n),'b-o')
end
grid on
xlabel('iteraciya')
ylabel('roots')
disp('ответ');
disp(x);
disp('число итераций');
disp(i);
Программа 2.
Решение дифференциального уравнения численным способом.
clc
a2=24;
a1=390.88;
a0=4937.6;
b2=0;
b3=0;
b1=230.88;
b0=4617.6;
f1=b2;
f2=b1-a1*f1;
f3=b0-a1*f1-a2*f2;
B=[f1;f2;f3]
A=[0 1 0; 0 0 1;-a0 -a1 -a2]
h=0.02;
Xt=[0;0;0];
X(1,1)=Xt(1);
X(1,2)=Xt(2);
X(1,3)=Xt(3);
F=A*Xt+B;
% Разгонный метод
K1=h*F;t(1)=0;
K2=h*(F+K1/3);
K3=h*(F+K2/6+K1/6);
K4=h*(F+K1/8+3/8*K2);
K5=h*(F+K1/2-3/2*K3+2*K4);
Xt=Xt+(1./6)*(K1+4*K4+K5);
X(2,1)=Xt(1);
X(2,2)=Xt(2);
X(2,3)=Xt(3);
t(2)=t(1)+h;
F=A*Xt+B;
i=2;
%Неявный метод второго порядка
while t(i)<1.6
X1(1)=X(i-1,1);
X1(2)=X(i-1,2);
X1(3)=X(i-1,3);
Xt=Xt+(h./12)*(5*B+8*(A*Xt+B)-(A*X1'+B));
Xt=((eye(3)-(5./12)*h*A)^-1)*Xt;
X(i+1,1)=Xt(1);
X(i+1,2)=Xt(2);
X(i+1,3)=Xt(3);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
h=0.9352-0.0629*exp(-17.6849*(t))-(0.8723*cos(16.4082*(t))-0.2357*sin(16.4082*(t))).*exp(-3.1576*(t));
for j=1:i
V(j)=X(j,1);
end
E=h-V;
plot(t,V,t,h,t,E); grid on
Программа 3.
Анализа заданной системы с использованием спектрального метода.
syms t T;
Kx=(4937.6./2)*(t-T).^2-390.88*(1./2)*(-2*(t-T))+24;
Ky=(4617.6./2)*(t-T).^2-230.88*(1./2)*(-2*(t-T));
for i=0:9
F6=0;
for j=0:i
m=i;
K=(sqrt(1.1552)*exp(-(1.1552*t)./2));
F=(factorial(m))./(factorial(m-j));
F1=((-1.1552*t).^j);
F2=(factorial(j)).^2;
F3=K.*F;
F4=F1./F2;
F5=F3.*F4;
F6=F6+F5;
L(i+1)=F6;
end
end
for i=0:9
F6=0;
for j=0:i
m=i;
K=(sqrt(1.1552)*exp(-(1.1552*T)./2));
F=(factorial(m))./(factorial(m-j));
F1=((-1.1552*T).^j);
F2=(factorial(j)).^2;
F3=K.*F;
F4=F1./F2;
F5=F3.*F4;
F6=F6+F5;
L1(i+1)=F6;
end
end
G=L'*L1;
In=Kx*G;
r=int(In,T,0,t);
Cx=int(r,t,0,1.5);
In=Ky.*G;
r=int(In,T,0,t);
Cy=int(r,t,0,1.5);
A=((Cx+eye(10))^-1)*Cy;
Cy=int(L,t,0,1.5);
Cx=A*Су'
function H=fun(t)
Cx=[-0.1275; 0.5090; 0.2483; 0.0697; -0.0459; -0.1140; -0.1472; -0.1555; -0.1468; -0.1275];