Технологические основы машиностроения Изучение рабочих (стр. 7 из 9)

Закон нормального распределения выражается уравнением:

x

a

y ^{2 2} , (4.13)

где у - плотность вероятности отклонения случайной величины (размера) от среднего значения a; x - значение случайной величины; - среднее квадратичное отклонение; a - среднее значение случайной величины.

Погрешность замыкающего звена является случайной величиной, представляющей сумму случайных погрешностей составляющих звеньев. Погрешность замыкающего звена будет подчиняться закону нормального распределения тем точнее, чем больше число составляющих звеньев размерной цепи.

При выполнении технологических размерных расчетов в качестве параметров а и

кривой Гаусса используют их статистические значения, полученные при измерении размеров партии деталей (см. работу 2):

; (4.14)

; (4.15)

где n _i - частота появления размера со значением x _i .

Для практических целей удобнее использовать уравнение кривой Гаусса в центрированном виде:

2

у

. (4.16)

Параметр

является мерой рассеяния случайной величины x . С удалением значений x от а вероятность их уменьшается и становится настолько мала, что для практических расчетов поле рассеяния случайной величины x принимают равным

2t , (4.17)

где t

- нормированный параметр распределения.

При значениях -3 t 3 99,73% значений x находится в пределах поля рассеяния, равного , и только 0,27% значений выходит за его пределы. Этот процент настолько мал, что значениями x, выходящими за пределы

, можно пренебречь и считать, что все значения x будут лежать в пределах поля рассеяния.

Из теории вероятностей известно, что дисперсия суммы случайных слагаемых равна сумме дисперсий этих слагаемых, т.е. дисперсию погрешностей размера замыкающего звена можно определить как

n

, (4.18)

где - среднее квадратичное отклонение размера замыкающего звена; _i - средние квадратичные отклонения размеров составляющих звеньев.

Для предотвращения брака поле рассеяния размера должно находиться в пределах его допуска, т.е.

, (4.19)

где - допуск размера.

Отсюда для замыкающего звена:

; (4.20)

для составляющих звеньев:

. (4.21)

2t_i

Подставляя выражения (4.20) и (4.21) в (4.18), получим:

. (4.22)

Отсюда

. (4.23)

Для того, чтобы учесть при расчетах погрешностей замыкающего звена любой закон распределения составляющих звеньев, вводят коэффициенты, характеризующие степень отличия закона распределения погрешностей i-того звена от закона Гаусса:

; (4.24)

. (4.25)

Коэффициенты находятся между собой в соотношении

k2

. (4.26) t_i

С учетом (4.24) и (4.26) выражение (4.23) примет вид

. (4.27)

Уравнение (4.27) является основным для расчета допусков размерных цепей по вероятностному методу.

Значения коэффициентов и k_i принимают по таблицам 4 .

При расчетах по вероятностному методу определяют номинал замыкающего звена, величину допуска замыкающего звена и координату середины поля допуска замыкающего звена.

4.4 Пример расчета

1 2

Рисунок 4.1

Определить величину припуска z на чистовую обработку торца детали.

Технологический процесс обработки детали:

-черновая токарная обработка поверхностей 1 и 2; -черновая и чистовая обработка поверхности 3; -чистовая токарная обработка поверхностей 1 и 2.

Размеры детали после черновой обработки - А₁ и А₂, после чистовой - А₃ и А₄.

Размеры в мм: А1 = 26- 0,28 ; А2 = 35- 0,34 ; А3 = 25- 0.14 ; А4 = 35- 0,17.

Величина припуска не указана на операционных эскизах, так как при обработке ее непосредственно не выдерживают. Исходя из поставленной в примере задачи, размер припуска z будет являться замыкающим звеном технологической размерной цепи.

Определим величину припуска z методом полной взаимозаменяемости. Убедимся, что решение задачи каждым их четырех способов этого метода дает одинаковые результаты.

Номинальную величину замыкающего размера определим по уравнению размерной цепи (4.2):

z A₁ A₂ A₃ A₄ , (4.28)

где А₁ и А₂ - увеличивающие составляющие размеры; А₃ и А₄ - уменьшающие составляющие размеры.

z = (26 + 35) - (25 + 35) = 1 мм.

Величину допуска замыкающего размера определим по уравнению (4.3):

= 0,28 + 0,34 + 0,14 + 0,17 = 0,93 мм.

Способ координат допусков.

Координату середины поля допуска замыкающего размера определим по уравнению (4.4):

0,155 мм.

Верхнее и нижнее отклонения замыкающего размера определим по уравнениям (4.5):

0,31 мм;

0,62 мм.

Способ предельных значений.

Определим предельные значения составляющих размеров:

А_1max = 26 мм; А_1min = 25,72 мм;

А_2max = 35 мм; А_2min = 34,66 мм;

А_3max = 25 мм; А_3min = 24,86 мм; А_4max = 35 мм; А_4min = 34,83 мм.

Предельные значения замыкающего размера определим по уравнениям

(4.6):

z_max 26 35 24,86 34,83 1,31 мм;

z_min 25,72 34,66 25 35 0,38 мм.

Величину допуска замыкающего размера определим по уравнению (4.7):

= 1,31 - 0,38 = 0,93 мм.

Способ предельных отклонений.

Верхнее и нижнее отклонения замыкающего размера определим по уравнениям (4.10):

BZ 0 0 0,14 0,17 0,31 мм;

HZ 0,28 0,34 0 0 0,62 мм.

Номинал замыкающего размера вычисляется по уравнению размерной цепи (4.28).

Способ средних значений.

Представим значения составляющих размеров через их средние значения:

А₁ = 25,86 0,14 мм;

А₂ = 34,83 0,17 мм;

А₃ = 24,93 0,07 мм; А₄ = 34,915 0,085 мм.

Среднее значение замыкающего размера определим по уравнению

(4.11):

z_cp = (25,86 + 34,83) - (24,93+34,915) = 0,845 мм.

Значение замыкающего размера по уравнению (4.12):

z 0,845 0,465 мм.

Сравнив результаты вычислений, полученные разными способами, убеждаемся, что они совпадают.