регистрация /  вход

Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре (стр. 1 из 4)

Министерство общего и профессионального образования РФ

Воронежский государственный университет

факультет ПММ

кафедра Дифференциальных уравнении

Курсовая работа

“Моделирование распределения потенциала

в МДП-структуре”

Исполнитель : студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

Руководитель : старший преподаватель

Рыжков А.В.

Воронеж 1998г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ

Математическая модель - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения

уравнения Пуассона и для граничных условий

раздела сред

Уравнение Пуассона - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Граничные условия раздела сред - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10

Метод переменных направлений - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13

Построение разностных схем - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16

ПРИЛОЖЕНИЕ - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ЛИТЕРАТУРА - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре

Математическая модель

Пустьj ( x,y ) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (С DEF ) она удовлетворяет уравнению Лапласа:

d2 j + d2 j = 0

dx2 dy2

а в области полупроводника (прямоугольник ABGH ) - уравнению Пуассона:

d2 j + d2 j = 0

dx2 dy2

где

q - элементарный заряд e ;

e nn -диэлектрическая проницаемость кремния;

N d (x,y) -распределение концентрации донорской примеси в подложке ;

N a ( x,y ) -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке;

e 0 -диэлектрическая постоянная


0 D E

y

B G

C F

A H

x


На контактах прибора задано условие Дирихле:

j | BC = Uu

j | DE = U з

j | FG = Uc

j | AH = Un

На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение

однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры

относительно линий лежащих на отрезках AB иGH :

d j = 0 d j = 0

dy AB dy GH

На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана

означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического

тока:

d j = 0 d j = 0

dy DC dy EF

На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие

сопряжения :

j | -0 = j | +0

e ok E x |-0 - e nn E x |+0 = - Qss

где Qss -плотность поверхностного заряда;

e ok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;

e nn -диэлектрическая проницаемость полупроводника .

Под символом “+0 ” и”- 0 ” понимают что значение функции беретсябесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводникалибо окисла кремния . Здесь первое условие означает непрерывностьпотенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженностипри переходе из одной среды в другую с величиной поверхностногозаряда на границе раздела.

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред

Уравнение Пуассона

В области{(x,y) : 0 < x < Lx , 0 < y < Ly } вводится сетка

W={(x,y) : 0 < i < M1 , 0 < j < M2 }

x0 =0 , y0 =0, x M 1 = Lx , y M 2 = Ly

xi+1 = xi + hi+1 , yj+1 = yj + rj+1

i = 0,...,M1 -1 j = 0,...,M2 -1


Потоковые точки:

xi+ ½ = xi + hi+1 , i = 0,1,...,M1 -1

2

yj+ ½ = yj + rj+1 , j = 0,1,...,M2 -1

2

Обозначим :

U (xi ,yj ) = Uij

I(xi+½ ,yj ) = Ii+½,j

I(xi ,yj+½ ) = Ii,j+½

Проинтегрируем уравнение Пуассона:

Dj = - q (N d + N a )

e 0 e n

Q(x,y)

по области:

V ij = { (x,y) : xi- ½ < x < xi+ ½ , yj- ½ < y < yj+ ½ }

xi+ ½ yj+ ½ xi+ ½ yj+ ½

ò ò Dj dxdy = ò ò Q(x,y)dxdy

xi- ½ yj- ½ xi- ½ yj- ½

Отсюда:

yj+½ xi+½

ò (Ex(xi+½,y) - Ex(xi-½,y) )dx + ò ( Ey(x,yj+½) - Ey(x,yj-½) ) dy=

yj-½ xi-½

xi+ ½ yj+ ½

= ò ò Q(x,y)dxdy

xi- ½ yj- ½

Здесь:

Ex (x,y) = - d j (x,y)

dx (*)

Ey (x,y) = - d j (x,y)

dy

x у -компоненты вектора напряженности электрического поля Е .

Предположим при


yj-½ < y < yj- ½ Ex (xi + ½ ,yj ) = Ei+ ½ ,j = const

yj-½ < y < yj- ½ Ex(xi - ½ ,yj ) = Ei- ½ ,j = const (**)

xi-½ < x < xi+ ½ Ey(xi , yj + ½ ) = Ei,j+ ½ = const

xi-½ < x < xi+ ½ Ey(xi , yj ) = Ei,j - ½ = const

xi- ½ < x < xi+ ½

yj- ½ < y < yj+ ½ - Q(x,y) = Qij = const

Тогда


(Ex )i+ ½ ,j - (Ex )i -½ ,j r* j + (Ey )ij+ ½ - (Ey )ij- ½ h* i = Qij h* i r* j

где h* i = hi - hi+1 , r* j = rj - rj+1

2 2

Теперь Еi+ ½ ,j выражаем через значение j (x,y) в узлах сетки:

xi+1

òE x(x,yj )dx = - j i+1,j - j ij

xi

из (* *) при y=yj :

(Ex )i+ ½ ,j = - j i+1j - j ij

hi+1

Анологично :

(Ey )i,j+ ½ = - j ij+1 - j ij

rj+1

Отсюда:


( Dj )ij = 1 j i+1,j - j ij - j i j - j i-1,j + 1 j i j+1 - j ij - j ij - j ij-1 =