Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени (стр. 6 из 9)
Несложно показать, что коэффициент отражения обладает следующим свойством (является коэффициентом частной корреляции между ошибками линейного предсказания вперед и назад) :
Используя оценки взаимной корреляции и автокорреляции ошибок предсказания вперед и назад, получим :
Таким образом, геометрический алгоритм использует алгоритм Левинсона, в котором вместо обычного коэффициента отражения, вычисляемого по известной автокорреляционной функции, используется его оценка
Окончательный вид выражений геометрического алгоритма :
, где n=1,2,..p-1 
, 
, где
1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга.
Алгоритм Берга идентичен геометрическому, однако оценка коэффициента отражения находится из других соображений, а именно : при каждом значений параметра p в нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибок линейного предсказания вперед и назад (то есть выборочная дисперсия ошибки предсказания):
Приравнивая производные к нулю, имеем оценку для
: 
Некоторым обобщением является взвешивание среднего квадрата ошибки предсказания для уменьшения частотного смещения, наблюдаемого при использовании базового метода Берга:
что приводит к следующей оценке :
1.4.4. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов.
Налагая ограничения на авторегрессионные параметры, с тем чтобы они удовлетворяли рекурсивному выражению метода Левинсона, в методе Берга происходит минимизация по одного параметра - коэффициента отражения
. Более общий подход состоит в минимизации одновременно по всем коэффициентам линейного предсказания.Итак, пусть для оценивания авторегрессионных параметров порядка p используются последовательность данных
.Оценка линейного предсказания вперед порядка p для отсчета 
будет иметь форму: 
где
- коэффициенты линейного предсказания вперед порядка p.Ошибка линейного предсказания :
В матричном виде это выражение записывается как :
и соотношение для ошибки :
Однако если рассматривать, в котором минимизируется следующая, невзвешенная выборочная дисперсия :
то матрица
принимает теплицевый вид (далее ее будем обозначать 
).Нормальные уравнения, минимизирующие средний квадрат ошибки имеют следующий вид:
Элементы эрмитовой матрицы
имеют вид корреляционных форм 
, где 
Таким образом, авторегрессионные параметры могут быть получены в результате решения нормальных уравнений. Рассмотрим алгоритм, который в решении нормальных уравнений учитывает тот факт, что эрмитова матрица
получена как произведение двух теплицевых и в результате этого сводит количество вычислений к 
. При использовании алгоритма Холецкого потребовалось бы 
операций.Ошибки линейного предсказания вперед и назад p-ого порядка
Здесь вектор данных
, вектор коэффициентов линейного предсказания вперед 
и вектор линейного предсказания назад 
определяется следующими выражениями:
, 
, 
На основе отсчетов измеренных комплексных данных
ковариационный метод линейного предсказания позволяет раздельно минимизировать суммы квадратов ошибок линейного предсказания вперед и назад: , 
что приводит к следующим нормальным уравнениям :
, 
Введем необходимые для дальнейшего определения :
, 
исходя из вида
и 
можно записать : 
, 
,где вектор столбцы
и 
даются выражениями : 
, 
Важными также являются следующие выражения :
Пара векторов-столбцов
и 
определяются из выражений : 
Аналогично определяются вектора
и 
, а также 
и 
через матрицы 
и 
.