Эта формула построена при предположении, что внутри возрастного интервала (х + п) вероятность смерти или постоянна, или меняется линейно (в возрастных интервалах 0-1 год и 1- 4 года). Если же гипотеза линейности не принимается, то используют альтернативную формулу Гомперца (1825) и Фарра (1864), в которой гипотеза линейности заменяется гипотезой экспоненциального изменения вероятности смерти на возрастном интервале (х + п) лет. Соответственно, nqx = 1 - nрх.
Для возрастного интервала 0 - 1 год как альтернатива иногда просто приравнивают q0к коэффициенту младенческой смертности.
Все прочие функции краткой таблицы смертности рассчитываются исходя из вычисленных ai,qiи корня таблицыl0.
Числа умирающих (di) на возрастном интервале (xi, xi+l) лет из числа доживающих до точного возраста xi+1лет рассчитываются по формулам:
di = l iqi; иli+1 = li - di, где i=0, 1, 2, 3,..., w - 1.
Число человеко-лет, прожитых на возрастном интервале (xi, xi+l) лет, или число живущих на этом интервале, при принятии гипотезы линейности равно: Li = ni(li - di) + ai ni di, гдеi= 0,1,2, 3,..., w - 1. Если же принимается экспоненциальная гипотеза, то для возрастного интервала 0 - 1 год используется альтернативная формула.
И для возрастного интервала 1 - 4 года:
4 l1 = 1,704 li + 2,533 l5 -237 l10.
Покажем на примере данных о повозрастной смертности мужчин в России в 1997 г, процедуру расчета краткой таблицы смертности мужского населения Примем при этом гипотезу линейности, а также значения параметра аi, равные его величинам по таблице смертности для всего населения США 1960 г., поскольку тогдашний уровень смертности в этой стране довольно близок нынешнему ее уровню в России. Средняя ожидаемая продолжительность жизни для обоих полов в 1960 г. в США равнялась примерно 70 годам, а уровень младенческой смертности - 26,8%о9.
В России средняя ожидаемая продолжительность жизни для обоих полов в 1997 г. была равна примерно 67 годам, а уровень младенческой смертности-17,2%о.
Рассчитаем краткую таблицу смертности с помощью нижеследующей пошаговой процедуры.
Шаг 1. Рассчитываем длину возрастного интервала (xi, xi+1), Для интервала 0-1 год она равна 1 году; для интервала 1-4 года она равна 4 годам; для всех прочих - 5 годам. Эту же величину (5 лет) мы условно принимаем и для последнего открытого интервала 85 лет и старше. Хотя знание точного возраста смерти в самых старших возрастах позволяет более точно оценить его длину. Однако для описываемой процедуры длина открытого интервала не играет никакой роли.
Шаг 2. Переводим значения повозрастных коэффициентов смертности из промилле в относительные доли единицы.
Шаг 3. Учитывая величину параметра аi, определяем qi- вероятность умереть на возрастном интервале (хi, xi+l). При этом для интервала 0-1 год принимаем значение q0, равное коэффициенту младенческой смертности.
Шаг 4. С помощью итеративного процесса рассчитываем числа умирающих (di) на возрастном интервале (xi, xi+l) и числа доживающих (li) до точного возраста х лет. При этом l0 принимаем равным 10 000 (учитывая точность повозрастных коэффициентов смертности); d0= lOq0 и 11= l0 - d0. Затем вся процедура повторяется для каждого возрастного интервала (xi, xi+l), кроме последнего открытого интервала 85 лет и старше. На этом интервале вероятность смерти равна единице, поэтому d18 = l18.
Шаг 5. Рассчитываем по приведенным выше формулам числа живущих (Li) на возрастном интервале (xi, xi+1). Для последнего открытого возрастного интервала 85 лет и старше эта величина равна: L18 = l18/m18, где m18 - повозрастной коэффициент смертности для этого возрастного интервала.
Шаг 6. Рассчитываем общее число человеко-лет, которое предстоит прожить дожившим до начала возрастного интервала (xi, xi+1) лет (до точного возраста х лет). Эта величина равна сумме всех Li от i до w (в данном случае до 18).
Шаг 7. Разделив Liна li, получим среднюю ожидаемую продолжительность предстоящей жизни для дожившего до начала возрастного интервала (xi,xi+1) лет (до точного возраста х лет), еi.Построение краткой таблицы смертности закончено.
В предпоследней колонке таблицы приведены официальные данные о величине ei, опубликованные в Демографическом ежегоднике РФ 98, а в последней - разность значений этого показателя, рассчитанных нами, и официальных. Как видно, они близки друг к другу, хотя наш расчет показал несколько большие, чем официальные, значения средней ожидаемой продолжительности жизни для возрастов от 0 до 59 лет. Для старших же возрастов, напротив, расчетные значения меньше официальных. Полного совпадения не может быть, поскольку официальные данные рассчитываются по полным таблицам смертности.
В современных условиях расчет таблиц смертности, как кратких, так и полных, значительно упростился и стал гораздо менее трудоемким, чем ранее. Разработаны специальные пакеты программ и электронные таблицы, позволяющие все процедуру расчета таблиц смертности свести к простому вводу ее повозрастных коэффициентов и некоторых других параметров. Примером таких пакетов является Mort-Pak, примером электронных таблиц - LTPOPDTH и LTMXQXAD из комплекта PAS1.
4. СТАНДАРТИЗАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ СМЕРТНОСТИ
Величина общих коэффициентов смертности, будучи свободной, от влияния абсолютной численности населения, тем не менее, зависит от структурных факторов, т.е. от соотношения численностей мужского и женского населения, городского и сельского населения, состоящих и не состоящих в браке и т.д. Одним из наиболее сильных факторов, оказывающих влияние на величину общих коэффициентов, является возрастная структура населения. Сказанное здесь касается общих коэффициентов и для других демографических процессов.
Влияние структурных факторов на величину общих коэффициентов можно проиллюстрировать следующим гипотетическим примером, в котором рассматриваются три страны с одинаковыми по численности, но имеющими разную возрастную структуру населениями В странах А и В - одинаковые повозрастные коэффициенты смертности. Однако в стране А общий коэффициент смертности в полтора с лишним раза больше, чем в стране В. Это является прямым результатом того, что страна А имеет более высокую долю детей в возрасте 0-4 года. Для этой группы свойственны повышенные значения повозрастных показателей смертности (особенно в группе 0 лет).
С другой стороны, страны В и С имеют одинаковые величины общих коэффициентов смертности, но существенно разные повозрастные коэффициенты. В стране С гораздо выше доля населения в старших возрастах (где можно было бы ожидать более высоких показателей смертности). Однако в этой стране показатель повозрастной смертности для старших возрастов в два раза меньше, чем в странах А и В. Благодаря этому страна С, хотя в ней более старое население, имеет общий коэффициент смертности такой же, как и страна В.
Ясно, что напрямую сопоставлять данные об общих коэффициентах смертности в этих условных странах невозможно. И в целом действие структурных факторов является одной из причин, делающих практически несопоставимыми данные о демографических показателях разных территорий или различных периодов (если по прошествии времени произошли значительные изменения различных структур населения).
Поэтому приходится использовать различные методы, позволяющие устранить искажающее влияние структурных факторов, прежде всего возрастной структуры. Одним из таких методов является использование специальных и частных коэффициентов, на которые структурные факторы не влияют или влияют гораздо в меньшей степени.
Еще одним способом устранения влияния структурных факторов и является стандартизация демографических коэффициентов. Метод стандартизации был предложен и впервые применен в анализе смертности английским статистиком и демографом У. Фарром (W. Farr, 1807-1883).
Применение стандартизации основано как раз па разложении общих коэффициентов на сомножители, выражающие, с одной стороны, интенсивность демографического процесса, а с другой, численность или долю соответствующего субнаселения во всем населении.
Общие коэффициенты суть взвешенные суммы частных или специальных. При этом частные или специальные коэффициенты характеризуют интенсивность процесса (или, что то же самое, соответствующее среднее поведение), а веса, которыми являются численности или доли соответствующих субнаселений, характеризуют структурный фактор.
Суть стандартизации заключается в том, что реальные общие коэффициенты сравниваются с показателями некоторого условного населения, которое получается, если проделать следующее.
Интенсивность демографического процесса в некотором населении (реальном или искусственно сконструированном) или его структура принимается за стандарт*. Затем для каждого из сравниваемых населений рассчитывается стандартизованный общий коэффициент, который показывает, какими были бы общие коэффициенты рассматриваемого процесса в данном населении, если бы интенсивность этого процесса в нем или его структура были бы такими же, как и в населении стандарта. При этом, в зависимости от того, что именно принимается за стандарт (интенсивность или структура), применяют различные методы стандартизации.
Наибольшее распространение имеют прямая стандартизация, косвенная и обратная, к рассмотрению которых мы и переходим. Покажем суть этих методов на примере стандартизации общих коэффициентов смертности.
Методы стандартизации
При прямой стандартизации повозрастные коэффициенты смертности реального населения перевзвешиваются по возрастной структуре стандарта. Таким образом получается то число смертей, которое имело бы место в реальном населении, если бы его возрастная структура была такой же, как и возрастная структура стандарта. Разделив это число на число смертей в стандартном населении, получают индекс прямой стандартизации. Если общий коэффициент смертности стандарта умножить на этот индекс, то получим стандартизованный общий коэффициент смертности, который показывает, какова была бы величина общего коэффициента смертности в реальном населении, если бы его возрастная структура была такой же, как и возрастная структура стандарта.