Однако в начале XIX века вдруг наступил кризис в отношении пятого постулата, и сразу трое человек (Н. Лобачевский, Ф. Гаусс и Я. Больяи) решают этот кризис методом построения новой геометрии. Почему же именно в этот момент произошел перелом? Вряд ли можно предполагать, что одновременно появились три гения, которых не было на протяжении многих веков.
Дело в том, что проблема пятого постулата предстала перед математиками в новом свете, уже не как досадная неясность, а как проблема,
порождающая ряд фундаментальных вопросов: как вообще должна быть построена математика? Может ли она быть построена на действительно прочных основаниях? Является ли она достоверным знанием? Является ли она логически точным знанием? Эти вопросы возникли не в связи с постановкой проблемы пятого постулата, а были определены общим состоянием математики в тот исторический момент.
Вплоть до XVII века математика находилась как бы в зачаточном состоянии. Наиболее разработана была геометрия, известны начала алгебры и тригонометрии. Но с XVII века математика начала бурно развиваться, и к началу XIX века она представляла собой довольно сложную и развитую систему знаний. Для нужд механики было создано и развивалось дифференциальное и интегральное исчисление; значительное развитие получила алгебра, появилось понятие функции; появилась теория вероятностей и теория рядов. Математическое знание выросло не только количественно, но и качественно. С этим развитием появилось множество новых понятий, которые математики не могли истолковать. Например, алгебра несла с собой понятие числа. Положительные, отрицательные и мнимые величины были в равной степени ее объектами, но что это такое, никто толком не знал до XIX века. Не было ответа даже на более общий вопрос --- что такое число? Что такое бесконечно малая величина, которая уже широко использовалась в дифференциальном и интегральном исчислениях? Как можно обосновать дифференцирование, интегрирование, суммирование рядов, то есть операции, требующие предельного перехода? Что представляет собой вероятность?
В итоге именно в XIX веке сложилась кризисная ситуация в математике.
Но трудности истолкований новых понятий еще можно было понять: то, что неясно сегодня, станет ясно завтра, когда соответствующая область получит должное развитие, когда там будет сосредоточено достаточное количество интеллектуальных усилий. Иначе дело обстояло с проблемой пятого постулата --- она стояла уже около двух тысячелетий, и многие люди ей занимались, но решения не было. Может быть, что эта проблема устанавливала некий эталон для истолкования тогдашнего состояния математики и уяснения того, что есть математика вообще. Возможно, математика не является точным знанием. В свете этих вопросов проблема пятого постулата перестала быть частной задачей, а стала фундаментальной проблемой и была решена путем построения новых геометрий. Параллельно на основе нового взгляда на метематику развивались и другие области.
Алгебра логики возникла в работах англичанина Джона Буля, который предложил рассматривать логику как алгебру, где переменные принимают только два значения - 0 и 1, и применять к высказываниям методы алгебры. Буль полагал, что есть некие общие принципы мышления, что дает основания для аналогий между логикой и алгеброй. Эта идея блестяще подтвердилась, кроме того, булевозначные алгебры, как оказалось, являются моделями классической теории множеств.
На этом подходе ныне базируется вся электронно-вычислительная техника. Дальнейшее развитие этот подход получил в работах математика Готлоба
Фреге, который осуществил дедуктивно-аксиоматическое построение логики высказываний и
логики предикатов. Он построил систему формализованной арифметики, тем
самым пытаясь обосновать идею сводимости значительной части математики к
чистой логике. Это направление получило название логицизм, который был
развит в работе "Принципы математики" англичанами Бертраном Расселом и
Альфредом Уайтхедом. В этом же направлении работали гениальные математики
Пеано (им создана знаменитая система аксиом Пеано для определения базового понятия математики - натурального числа и принципа математической индукции) и Гильберт, строго аксиоматически изложивший евклидову геометрию в своем труде "Основания геометрии"(1889). Надо сказать, что она была достаточно далека от той геометрии, которую до сих пор преподают в школах.
Однако с углублением формализации математики начали натыкаться на различные парадоксы, связанные с определениями абстрактных понятий, из которых наиболее известен парадокс Рассела в теории множеств. Возникла
ситуация, похожая на ситуацию с евклидовой геометрией. Опять еще более
остро стали философские вопросы обоснования математики и возможности
ее построения на чисто логико-аксиоматической основе.
В 1931 году
австрийский математик Курт Гедель доказал неполноту достаточно богатых
формальных систем, что и означало, что лейбницева программа полной
формализации мышления невозможна. Иначе говоря, существуют
предложения, которые формулируются в терминах данной теории, но
недоказуемы и неопровержимы в рамках этой теории. Эти исследования
наряду с исследованиями поляка Тарского и голландца Чёрча определили
современное состояние математической логики. На сегодняшний день
ситуация с классической логикой повторила ситуацию с евклидовой
геометрией. Созданы и развиваются интуиционистская и конструктивная
логики, основанные на отбрасывании или замене классических
аристотелевских законов логики. Ведутся исследования в области
многозначных, релевантных и модальных логик.
Итак, можно сказать, что в ходе развития математики все большее внимание уделялось строгости логики. Надо сказать, что это не является какой-то особенностью именно математики. Для примера можно взять юриспруденцию и сравнить законы, которые использовались в средние века, в Новое время и сегодняшний свод законов. Можно увидеть, что при сохранении основных идей (записанных еще в Библии --- не убий, не укради и т.д.) увеличивается детальность и логическая последовательность законов. Тем более это видно в естественных науках. Был момент, когда казалось, что все в математике можно свести к формальным правилам вычислений. Иначе говоря, можно было бы сконструировать некую машину, которая могла бы генерировать все теоремы и их доказательства, а нужда в математике-человеке с его интуицией бы отпала. Только в 30-х годах XX века вновь появилось понимание, что машина не может заменить человека в этой области знаний (и, по-видимому, ни в какой другой).
egincenter
f
О природе математического умозаключения
ndcenter
Сама возможность математического познания при рассмотрении ее с точки зрения логицизма кажется неразрешимым противоречием. Если все предложения в математике выведены одно из другого по правилам формальной логики, то верно ли, что вся математика сводится к бесконечному повторению и тавтологии? Ведь силлогизм Аристотеля не может научить ничему новому, и если все теоремы вытекают из закона тождества, то все должно к сводится к нему и к нескольким аксиомам, лежащим в основе математики. Правда, надо предположить или проверить, что эта система аксиом не сводится к закону противоречия.
Получается, что ни одна теорема не могла бы дать никаких новых знаний, если бы в ее доказательство не входила бы новая аксиома. Ведь сам силлогизм ничего не добавляет к тем данным, которые даются в посылке. Иначе говоря, вся математика сводилась бы к нескольким аксиомам и скрытому способу говорить, что А есть А. Кроме того, если математика имеет дедуктивный характер, то как объяснить тот факт, что 90 процентов математических статей связаны с обобщением уже известных результатов. Чтобы объяснить смысл этих противоречий, надо признать, что математическое умозаключение само по себе имеет род творческой силы, и этим отличается от силлогизма.
Рассмотрим один из важнейших, если не самый важный, тип математических умозаключений, причем сделаем это на простейшем примере, на примере арифметике. Выражение "дважды два равно четырем" используется, когда говорят о чем-то очень простом, элементарном. Это вроде бы ясно, и доказывать тут нечего. Первым пытался доказать это Лейбниц. Для этого необходимо ввести некие понятия (по сути - аксиомы), а именно понятие числа 1 и операции прибавления к некоторому числу х числа 1. Далее определяем числа 2, 3 и 4 следующими равенствами
2=1+1, 3=2+1, 4=3+1. Теперь определим операцию прибавления 2 следующим образом х+2=(х+1)+1. Заметим, что пока ничего содержательного не появилось, но при этом в определении новой операции неявно используется аксиома ассоциативности сложения. Иначе говоря, либо вводится эта аксиома, и тогда новая операция определяется однозначно, либо сначала определяется новая операция прибавления 2, и из нее получается ассоциативность сложения как свойство (а не как аксиома). Далее имеем цепочку равенств 2+2=(2+1)+1=3+1=4. Откуда и получим, что 2+2=4. Таким образом, на основе формально введенных понятий мы доказали формальное(!) равенство. Вроде бы эти рассуждения может проделать и машина, с этим никто не спорит.