Оценка напряженно-деформированного состояния массива пород (стр. 2 из 3)
В задаче плоской деформации, как и в осесимметричных задачах, напряжения и перемещения определяются выражениями, вывод которых не зависит от применяемого метода решения.
Таким образом, плосконапряженное состояние отличается от плоской деформации только значениями перемещений породного массива, а распределение напряжений описываются одинаковыми формулами.
Существуют три метода решения: метод сил, перемещений и смешанный способ. При решении задачи методом сил за основные неизвестные принимаются напряжения, которые определяются в результате интегрирования уравнений равновесия и уравнений неразрывности деформаций, где деформации выражены через напряжения с помощью физических уравнений. В методе перемещений за основные неизвестные принимаются перемещения, определяемые из решения уравнений равновесия, где напряжения предварительно выражаются через перемещения с помощью физических и геометрических уравнений.
При решении задачи смешанным методом за основные неизвестные принимаются некоторые из напряжений и некоторые из перемещений.
Выбор метода решения часто определяется видом граничных условий: при силовых граничных условиях обычно используется метод сил, при кинематических — метод перемещений. В задачах геомеханики, где анализируются геомеханические процессы от действия горного давления, чаще всего используется метод сил.
Плоское напряженное состояние возникает, когда все действующие напряжения параллельны какой-либо одной плоскости.
Плоское напряженное состояние характерно для объектов, у которых один из размеров существенно меньше двух других, например для тонких пластин, нагруженных по контуру силами, параллельными их плоскости. В частности, если в гравитационном поле сил в массиве пород вокруг вертикального ствола мысленно выделить тонкий слой, перпендикулярный к его оси, то напряженное состояние пород в выделенном слое можно практически полагать плоским.
При наличии плоскости симметрии в породном массиве рассматривается плоская задача. Такой тип задачи обычно используется для исследований механических процессов в окрестности горизонтальных горных выработок.
Решая задачу в постановке плоской деформации, необходимо помнить, что решение будет справедливым только для сечений, которые в процессе деформирования остаются плоскими. В горных выработках такие сечения, нормальные к продольной оси выработки, должны быть удалены от забоя на расстоянии 1 > 6D, где D - пролет поперечного сечения выработки, а в выработках кругового сечения - диаметр. При этом погрешность, возникающая в результате решения задачи в постановке плоской деформации, составляет не более 10%.
Можно предположить, что таков же порядок погрешности при исследовании сечений, расположенных вблизи устьев или сопряжений горных выработок. Отсюда можно сделать и другой вывод: решение задачи в постановке плоской деформации будет весьма грубым приближением для непротяженных выработок и камер с размером по продольной оси 1 < 12D. Остальные выработки, геометрические размеры которых не удовлетворяют этому условию, будут называться протяженными.
Плоская деформация возникает в случае, если перемещения точек деформируемого объема происходят только в одной плоскости. В состоянии плоской деформации находятся средние точки тела, размеры которого в одном каком-либо направлении очень велики, при условии, что не изменяющиеся по значению нагрузки действуют перпендикулярно к этой длинной оси. Например, в гравитационном поле сил в условиях плоской деформации фактически находятся породы вокруг сечения горизонтальной горной выработки.
Модуль упругости
Основной характеристикой деформируемости или деформационных свойств горных пород на допредельной стадии их деформирования является коэффициент связи напряжений и деформаций. На участке линейного упругого деформирования в интервале напряжений от δ1а до δ1с этот коэффициент имеет смысл модуля упругости горной породы при сжатии Ес который численно равен отношению приращения напряжений (δ1с - δ1а) к приращению продольных деформаций (ε1с. -ε1а) или тангенсу угла наклона arctg Ес касательной на этом участке диаграммы к оси продольных деформаций. Его величину можно также определить, исключая необратимые деформации путем многократного нагружения с последующей разгрузкой. Поскольку деформирование породных образцов на участке от δ1а до δ1с происходит при закрытых поперечных трещинах и упругом сжатии минерального скелета, наблюдаемый модуль упругости Ес является в основном характеристикой горной породы как материала.
Закон Гука
Для каждого вида приложенных напряжений существует свой коэффициент пропорциональности между напряжениями и упругими деформациями; он является параметром породы, оценивающим ее упругие свойства. Коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением (сжимающим или растягивающим) σ и соответствующей ему относительной продольной деформацией υ называется модулем упругости (модулем Юнга) Е:
σ=υ·Ε.
Коэффициент пропорциональности между касательным напряжением τ и соответствующей деформацией сдвига δ’ носит название модуля сдвига G:
τ= G· δ’.
Модуль упругости Е и модуль сдвига G считаются основными упругими характеристиками породы.
Пользуются и другими упругими параметрами пород. В случае объемного напряженного состояния породы связь между напряжением σ и относительным изменением объема ∆V/V выражается через модуль всестороннего сжатия К. Для рыхлых пород пользуются понятием модуля одностороннего сжатия М-коэффициентом пропорциональности между продольным напряжением и соответствующей ему деформацией при расположении пробы в цилиндре с жесткими стенками.
Широко применяют также еще один упругий параметр-коэффициент Пуассона ν, являющийся коэффициентом пропорциональности только между деформациями - относительными продольными ∆l/l и относительными поперечными ∆ d/d:
∆ d/d= ν·∆l/l
Коэффициент Пуассона - величина безразмерная. Он связан с величинами Е и G уравнением:
Для изотропных тел достаточно знать лишь два упругих параметра; другие параметры могут быть вычислены по соотношениям теории упругости.
Например,
Чаще всего в качестве основных параметров экспериментально определяют и используют в расчетах модуль упругости и коэффициент Пуассона.
Расчетная часть
q- напряжения нетронутого массива пород на бесконечности,
E,υ- модуль упругости и коэффициент Пуассона.
2. Распределение полных напряжений в массиве пород вокруг выработки описывается следующим образом
1) σr=q*(1-(1/r²))
σr1=5,8*(1-(1/1,02))= 0 Мпа
σr2=5,8*(1-(1/1,12))= 1.006 Мпа
σr3=5,8*(1-(1/1,22))= 1.772 Мпа
σr4=5,8*(1-(1/1,32))= 2.368 Мпа
σr5=5,8*(1-(1/1,402))= 2.841 Мпа
σr6=5,8*(1-(1/1,52))= 3.222 Мпа
σr7=5,8*(1-(1/1,62))= 3.534 Мпа
σr8=5,8*(1-(1/1,702))= 3.793 Мпа
σr9=5,8*(1-(1/1,82))= 4.009 Мпа
σr10=5,8*(1-(1/1,92))= 4.193 Мпа
σr11=5,8*(1-(1/2,02))= 4.35 Мпа ,
где σr-радиальное напряжение, r-радиальная координата.
2) σθ= q*(1+(1/r²))
σθ1=5,8*(1+(1/1,02))= 11.6 Мпа
σθ2=5,8*(1+(1/1,12))= 10.593 Мпа
σθ3=5,8*(1+(1/1,22))= 9.827 Мпа
σθ4=5,8*(1+(1/1,32))= 9.231 Мпа
σθ5=5,8*(1+(1/1,42))= 8.759 Мпа
σθ6=5,8*(1+(1/1,52))= 8.377 Мпа
σθ7=5,8*(1+(1/1,62))= 8.065 Мпа
σθ8=5,8*(1+(1/1,72))= 7.806 Мпа
σθ9=5,8*(1+(1/1,82))= 7.590 Мпа
σθ10=5,8*(1+(1/1,92))= 7.406 Мпа
σθ11=5,8*(1+(1/2.02))= 7.25 Мпа ,
где σθ-тангенциальное напряжение , r-радиальная координата
3. Находим полные радиальные перемещения
Un= q/E*((1- υ)*r+(1+ υ)/r)
U0= q/E*(1- υ)*r,
U= q*(1+ υ)/E*r
- U0-начальное радиальное перемещение
- Un-полные радиальные перемещения
- U-дополнительные радиальные перемещения
1) U0= q/E*(1- υ)*r
U01= (5.8/3.2*104)*(1-0.2)*1.0= 0.00014
U02= (5.8/3.2*104)*(1-0.2)*1.1= 0.00015
U03= (5.8/3.2*104)*(1-0.2)*1.2= 0.00017
U04= (5.8/3.2*104)*(1-0.2)*1.3= 0.00018
U05= (5.8/3.2*104)*(1-0.2)*1.4= 0.00020
U06= (5.8/3.2*104)*(1-0.2)*1.5= 0.00021
U07= (5.8/3.2*104)*(1-0.2)*1.6= 0.00023
U08= (5.8/3.2*104)*(1-0.2)*1.7= 0.00024
U09= (5.8/3.2*104)*(1-0.2)*1.8= 0.00026
U10= (5.8/3.2*104)*(1-0.2)*1.9= 0.00027
U11= (5.8/3.2*104)*(1-0.2)*2.0= 0.00029
2) Un= q/E*((1- υ)*r+(1+ υ)/r)
Un1= (5.8/3.2*104)*((1-0.2)*1.0+1.2/1.0) = 0.000342
Un2= (5.8/3.2*104)*((1-0.2)*1.1+1.2/1.1) = 0.000337
Un3=(5.8/3.2*104)*((1-0.2)*1.2+1.2/1.2) = 0.000336
Un4=(5.8/3.2*104)*((1-0.2)*1.3+1.2/1.3) = 0.000336
Un5=(5.8/3.2*104)*((1-0.2)*1.4+1.2/1.4) = 0.000338
Un6=(5.8/3.2*104)*((1-0.2)*1.5+1.2/1.5) = 0.000342
Un7=(5.8/3.2*104)*((1-0.2)*1.6+1.2/1.6) = 0.000348
Un8=(5.8/3.2*104)*((1-0.2)*1.7+1.2/1.7) = 0.000354
Un9=(5.8/3.2*104)*((1-0.2)*1.8+1.2/1.8) = 0.000361
Un10=(5.8/3.2*104)*((1-0.2)*1.9+1.2/1.9) = 0.000368
Un11=(5.8/3.2*104)*((1-0.2)*2.0+1.2/2.0) = 0.000377
3) U= q*(1+ υ)/E*r
U1= 5.8*1.2/ 3.2*104*1.0 = 0.000217
U2= 5.8*1.2/ 3.2*104*1.1 = 0.000239
U3= 5.8*1.2/ 3.2*104*1.2 = 0.000261
U4= 5.8*1.2/ 3.2*104*1.3 = 0.000282
U5= 5.8*1.2/ 3.2*104*1.4 = 0.000304
U6= 5.8*1.2/ 3.2*104*1.5 = 0.000326
U7= 5.8*1.2/ 3.2*104*1.6 = 0.000348
U8= 5.8*1.2/ 3.2*104*1.7 = 0.000369
U9= 5.8*1.2/ 3.2*104*1.8 = 0.000391
U10= 5.8*1.2/ 3.2*104*1.9 = 0.000413
U11= 5.8*1.2/ 3.2*104*2.0 = 0.000435
6. Определяем радиальные и тангенциальные деформации εθ, εr
εθ =(1/E)*(σθ-0.2*σr)
εr=(1/E)*(σr -0.2*σθ)
1) εθ =(1/E)*(σθ-0.2*σr)
εθ1 = (1/3.2*104)*(11.6-0,2*0.000)= 0.000362
εθ2 = (1/3.2*104)*(10.593-0,2*1.006)= 0.000324
εθ3 = (1/3.2*104)*(9.827-0,2*1.772)= 0.000296
εθ4 = (1/3.2*104)*(9.231-0,2*2.368)= 0.000273
εθ5 = (1/3.2*104)*(8.759-0,2*2.840)= 0.000255
εθ6 = (1/3.2*104)*(8.377-0,2*3.222)= 0.000241
εθ7 = (1/3.2*104)*(8.065-0,2*3.534)= 0.000229
εθ8 = (1/3.2*104)*(7.806-0,2*3.793)= 0.000220
εθ9 = (1/3.2*104)*(7.590-0,2*4.009)= 0.000212