Оцінка точності при параметричному методі врівноваження (стр. 2 из 3)

Для приведення цих рівнянь до лінійного вигляду знаходимо наближені значення невідомих параметрів y1, y2 ..., yk і представляємо їх зрівняні значення у вигляді:

де tj – невеликі по абсолютній величині поправки до наближених значень параметрів.

Розкладемо функцію fi(y’1, y’2, ..., y’k) в ряд Тейлора і, обмежуючись лише лінійними членами, отримаємо:

Приймемо, що

Тоді

Отже,

Приймемо, що

тобто li – це різниця між елементами, обчисленими по наближених параметрах і їх виміряними значеннями. Тоді отримаємо систему параметричних рівнянь поправок в лінійному вигляді

Число цих рівнянь дорівнює числу n виміряних величин, а число невідомих параметрів – k, причому k<n. Така система рівнянь є невизначеною. Вона має безліч рішень. Для здобуття однозначного рішення необхідно введення додаткових умов, при яких виробляється зрівнювання.

Зрівнювання параметричним способом полягає у відшуканні поправок t1, t2, ..., tк наближених значень шуканих параметрів у1, у2, ..., уk, їх зрівняних значень у’1 у’2 ., у’k і х’1, х’2 ., х’n, а також в оцінці точності результатів врівноваження.

Коррелатний спосіб зрівнювання полягає у вирішенні системи r незалежних умовних рівнянь, що виникають при вимірі r надлишкових елементів в геодезичній побудові.

Умовне рівняння має вигляд:

(1)

де wj – нев'язки в умовних рівняннях.

Для приведення умовних рівнянь до лінійного вигляду приймемо, що:

де xi і vi – виміряне значення i-того елементу геодезичної побудови і поправка до нього.

Поправки vi усувають нев'язку wj (умова зрівнювання). Тоді:

Поправки vi малі по абсолютній величині порівняно із значеннями елементів, тому розкладемо функцію f(x’i) в ряд Тейлора і обмежуючись лише членами першого порядку отримаємо:

Приймемо, що

Тоді

Підставивши отримане рівняння у формулу 1 отримаємо систему умовних рівнянь поправок в лінійному вигляді:

Дана система r рівнянь з n невідомими є невизначена, оскільки r<n. Тобто система умовних рівнянь поправок має безліч рішень і для її вирішення необхідно ввести додаткові умови.

Параметричний спосіб зрівнювання і спосіб умов є еквівалентними за однакових додаткових умов, тобто приводять до однакових значень зрівняних елементів геодезичної побудови.

Суть і послідовність врівноваження параметричним способом

При побудові геодезичних мереж на місцевості закріплюються пункти, координати і висоти яких є шуканими величинами. Як правило, при зрівнюванні геодезичних мереж параметричним способом шукані параметри приймаються:

1) координати X і Y пунктів при зрівнюванні планових мереж;

2) висоти Н пунктів при врівноваженні висотних мереж.

Елементами геодезичних мереж є вимірювані на місцевості горизонтальні кути, довжини ліній, перевищення між точками, введемо наступні позначення (k<n):

1) Yj (j = 1, k) – дійсні значення шуканих параметрів або необхідних невідомих;

2) y* j (j = 1, k) – зрівняні значення параметрів;

3) yj (j = 1, k) – наближені значення параметрів;

4) tj (j = 1, k) – поправки в наближені значення параметрів;

5) Xi (i = 1, n) – дійсні значення елементів мережі;

6) x*i (i = 1, n) – зрівняні значення елементів;

7) vi (i = 1, n) – поправки у виміряні значення елементів мережі;

8) aij (i = 1, n; j = 1, k) – коефіцієнти параметричних рівнянь поправок;

9) li (i = 1, n) – вільні члени параметричних рівнянь поправок;

10) Pi (i = 1, n) – ваги результатів вимірів.

При врівноваженні параметричним способом складається система параметричних рівнянь поправок

де

- матриця коефіцієнтів параметричних рівнянь поправок розміром k*n;

- вектор поправок до вектора наближених значень параметрів yj;

- вектор вільних членів системи параметричних рівнянь поправок l= f(y1, y2 ., yk) – xi;

- вектор поправок до вектора виміряних елементів мережі xi.

Вирішення системи параметричних рівнянь поправок полягає у відшуканні вектора поправок Т до наближених значень параметрів

yj (j = 1, k) за умови

де

- вагова матриця або матриця вагів результатів вимірів розміром n*n.

Для відшукання min функції необхідно прирівняти до нуля її першу похідну і вирішити отримані рівняння. У нашому випадку:

З системи параметричних рівнянь поправок виходить, що

Покажемо, що умова

Рівносильно умові

Отже:

Помножимо рівняння AT + L = V зліва на

і отримаємо:

або враховуючи умову

Отримана система k рівнянь з k невідомими параметрами tj називається системою нормальних рівнянь. Матриця коефіцієнтів системи нормальних рівнянь має вигляд:

Отримана матриця:

1) квадратна матриця порядку k;

2) симетрична матриця;

3) позитивно визначена рангу k;

4) неособлива.

В результаті вирішення системи нормальних рівнянь отримуємо поправки tj до наближених значень параметрів yj, а потім по формулі

y*j = yj + tj зрівняні значення параметрів. Поправки vi до виміряних значень елементів мережі xi обчислюються за формулою:

Потім обчислюються зрівняні значення елементів мережі:

Контроль вирішення системи нормальних рівнянь обчислення поправок vi і зрівняних значень x*i і y*j виробляється по формулі:

тобто по зрівняних значеннях параметрів ще раз обчислюють зрівняні значення елементів мережі.

Недотримання цієї контрольної рівності може відбуватися із-за помилок в обчисленнях або унаслідок недостатньої точності наближених значень параметрів yj. У першому випадку необхідно відшукати і виправити помилки в обчисленнях. У другому випадку зрівняних значень y*j слід набути як наближені значення і з ними повторити весь процес зрівнювання.

Ознакою недостатньої точності наближених значень параметрів є недопустимо великі значення поправок tj. У цих випадках не можна нехтувати нелінійними членами розкладання функції в ряд Тейлора при обчисленні коефіцієнтів параметричних рівнянь поправок.

Оцінка точності при параметричному методі врівноваження.

Визначення середньої квадратичної погрішності одиниці ваги. Визначається по формулі:

де n – число виміряних величин;

k – число необхідних вимірів.

Середня квадратична похибкам визначення m обчислюється за формулою:

Величина [pvv] або

може бути знайдена різними шляхами:

1) по алгоритму Гауса – при вирішенні системи нормальних рівнянь до основної системи NT + L = 0 додається ще одне рівняння

2) Знов отримана система k+1 рівнянь з k+1 невідомими зберігає всі властивості нормальних рівнянь, причому останній діагональний елемент

Тому після виключення всіх невідомих ti отримаємо: