Многофакторные экономико-математические модели прогнозирования инфляции (стр. 2 из 6)

Переход к стандартизованным коэффициентам заключается в замене отклонений γ_t, ε_it новыми переменными, исходя из соотношений

T_γ=γ_t/σ_γt; T_i=ε_it/σ_εit ,

откуда γ_t=T_γσ_γt ; ε_it=T_iσ_εit. Подставив последние выражения в уравнение (*) и поделив левую и правую части на σ_γt, получим:

T_γ=(α₁T₁σ_ε1t /σ_γt)+(α₂T₂σ_ε2t /σ_γt)+…+(α_pT_pσ_εpt /σ_γt).

Переменные Т в последнем уравнении являются теперь относительными безразмерными величинами. Замена α_iσ_εit /σ_γt на β_i приводит уравнение к стандартизованному виду

T_γ=β₁T₁+ β₂T₂+…+ β_pT_p ,

в котором β_i- стандартизованные коэффициенты регрессии. Они показывают, на сколько среднеквадратических отклонений изменится зависимая переменная, если величина i-го независимого фактора увеличится или уменьшится на одно свое среднеквадратическое отклонение при условии постоянства всех остальных факторов-аргументов.

Так как β_i-коэффициенты являются относительными величинами, то с их помощью можно сделать вывод о степени влияния каждого фактора на функцию.

Численные значения коэффициентов определяются на основе значений коэффициентов парной корреляции.

Система нормальных уравнений, используемых при расчетах, имеет вид:

r_γtε1t=β₁r_ε1tε1t+β₂r_ε1tε2t+…+β_pr_ε1tεpt

r_γtε2t=β₁r_ε2tε1t+β₂r_ε2tε2t+…+β_pr_ε2tεpt ,

…………………………………………

r_γtεpt=β₁r_εptε1t+β₂r_εptε2t+…+β_pr_εptεpt

r_γtεit=∑γε_it/(∑γ²_t∑ε²_it)^½; r_εitεjt=∑ε_itε_jt/(∑ε²_it∑ε²_jt)^½; r_εitεjt=1.

Система уравнений, линейных относительно β_i, может быть решена любым способом. Естественно, оценка параметров и проверка надежности найденных уравнений регрессии осуществляются при использовании Microsoft Excel и множества статистических пакетов обработки данных, таких как SPSS, Statistica, Minitab и других. В данном случае важен содержательный алгоритм расчетов. Например, при использовании формул Крамера в_i=∆_i/∆, где ∆_i – определитель, получаемый из главного определителя ∆ путем замены i-го столбца столбцом из свободных членов.

После решения системы и определения β_i-коэффициентов находятся коэффициенты α_i=β_iσ_γt/σ_εit , осуществляется переход от относительных величин к абсолютным и уравнению

y_t=∑^p_j=1a_jx_jt+ε_t, t=1,2,…n.

Для оценки параметров уравнения временные ряды должны быть не менее 15-20 лет, а прогнозный период в 2-3 раза короче. Прогнозные значения x_jt можно оценить на основе экстраполяции, методом экспоненциального сглаживания, на основе трендов или уравнений авторегрессии, методом экспертных оценок. При необходимости в модели должны найти отражение периоды запаздывания.

1.2 Характеристика тесноты связи

Для определения тесноты связи рассчитывается коэффициент множественной корреляции R, 0 ≤ R ≤ 1. R не присваивается знак, т.к. факторы находятся в разной парной (прямой и обратной) зависимости с результативной переменной.

Для уравнений регрессии в стандартизованном масштабе при линейной зависимости R имеет вид:

R=(в₁r_гtе1t+ в₂r_гtе2t+…+ в_pr_гtеpt)^Ѕ.

Для определения степени влияния вариации факторных признаков на вариацию зависимого признака рассчитывается коэффициент множественной детерминации D=R², частные коэффициенты детерминации

d_i=β_ir_γtε1t ; ∑d_i=R².

Для случаев нелинейной зависимости коэффициент множественной корреляции рассчитывается как результат сопоставления двух дисперсий: остаточной σ²_ост и общей σ²_общ.

.

Проверка статистической надежности уравнения множественной регрессии. В регрессионном анализе при использовании в качестве первичной информации выборочных данных результаты расчетов в значительной степени зависят от способности выборочного уравнения регрессии отображать закономерности, существующие в генеральной совокупности. Важное значение при этом имеет правильный выбор типа аналитической функции, качество подбора параметров множественного уравнения, степень разброса исходных данных относительно линии регрессии.

Для оценки статистической надежности множественных моделей могут применяться различные показатели, особое место среди них занимают t-критерий Стьюдента и F-критерий Фишера.

Для проверки существенности коэффициентов регрессии определяется расчетное значение t-критерия

,

которое сопоставляется с табличным значением t_табл. Величина t_табл находится с учетом числа степеней свободы k=n-p-1, где n – количество наблюдений, p – количество факторов и доверительной вероятности P. Если t_pасч > t_табл., то это свидетельствует о том, что корреляционная связь существует между признаками у_t и x_1t, x_2t ,...,x_pt не только в выборочной, но и в генеральной совокупности.

Значимость коэффициентов чистой регрессии устанавливается следующим образом. Определяется расчетная величина t-критерия для каждого i-го коэффициента, которая сравнивается с табличной.

, где

где А_ii – диагональный элемент матрицы, обратной по отношению к матрице системы нормальных уравнений. Если t_расч>t_табл, то значение i-го коэффициента пропорциональности в выборочном уравнении регрессии незначительно отличается от коэффициента регрессии, которое можно было бы построить по материалам всей совокупности. В противном случае надежность i-го коэффициента следует считать недостаточной, а соответствующий факторный признак x_it рекомендуется исключить из числа переменных в уравнении регрессии.

При необходимости по известным t_табл ,σ_ait можно рассчитать доверительную зону для выборочного коэффициента:

а^в(н)_it=a_it±t_таблσ_ait.

Для оценки надежности уравнения регрессии в целом рекомендуется использовать F-критерий Фишера.

.

Если F_расч>F_табл, для k₁=р-1 и k₂=n-p и доверительной вероятности P, то уравнение множественной регрессии следует признать статистически значимым. В противном случае гипотеза об адекватности уравнения отбрасывается.

Также для обобщенной оценки уравнения множественной регрессии определяется средняя ошибка аппроксимации:

.

Допустимой ошибкой является ошибка, не превышающая 15%.

1.3 Прогнозирование по абсолютным уровням временных рядов

Для исключения автокорреляции непрерывный процесс изменения признака искусственно расчленяется на несколько этапов по числу отрезков времени, составляющих период наблюдения.

На каждой стадии расчетов значения переменных рассматриваются как статические величины без учета их вероятного изменения в будущем. По исходным данным, характеризующим взаимодействие признаков в каждый данный момент времени, строятся уравнения множественной регрессии

y_t^c=a_0t+a_1tx_1t+a_2tx_2t+…+ a_ptx_pt либо y⁾_t=a_0tx^a1t_1tx^a2t_2t…x^apt_pt.