Данные о прибыли и производстве валовой продукции (стр. 1 из 2)
Задача 1.
По 10 сельскохозяйственным предприятием имеются данные о прибыли и производстве валовой продукции (производительности труда) на одного среднегодового работника (табл. 1).
Таблица 1 – Исходные данные.
| Прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб. | 23 | 19 | 13 | 25 | 27 | 19 | 10 | 14 | 22 | 24 |
| Валовая продукция (в сопоставимых ценах 1994 г.) на одного среднегодового работника, тыс. руб. | 320 | 300 | 390 | 410 | 440 | 350 | 380 | 400 | 450 | 420 |
Требуется:
1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости прибыли от производительности труда.
2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.
3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.
4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
5. Оценить значимость коэффициента через t – критерий Стьюдента при a=0,05
6. Оценить статистическую надежность результатор регрессионного анализа с помощью F – критерия Фишера при a=0,05.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значения фактора увеличиться на 10% от его среднего уровня.
Решение
1. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
,где
– прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб.; 
– производства валовой продукции на одного среднегодового работника, тыс. руб.;a, b– параметры уравнения.
Для определения параметров уравнения a и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнения последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных a и b, и затем каждое уравнение просуммируем:
где n – число единиц совокупности.
Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл. 2).
Таблица 2 – Вспомогательная таблица для расчета статистических величин
| с/х предприятие | Прибыль на 1 среднегодового работника, тыс. руб. | Валовая продукция на одного среднегодового работника, тыс. руб. |  |  |  | |  |  |
| у | х | |||||||
| 1 | 23 | 320 | 529 | 102400 | 7360 | 17,7 | 5,3 | 23,04 |
| 2 | 19 | 300 | 361 | 90000 | 5700 | 17,1 | 1,9 | 9,86 |
| 3 | 13 | 390 | 169 | 152100 | 5070 | 19,7 | -6,7 | 51,65 |
| 4 | 25 | 410 | 625 | 168100 | 10250 | 20,3 | 4,7 | 18,84 |
| 5 | 27 | 440 | 729 | 193600 | 11880 | 21,2 | 5,8 | 21,65 |
| 6 | 19 | 350 | 361 | 122500 | 6650 | 18,6 | 0,4 | 2,29 |
| 7 | 10 | 380 | 100 | 144400 | 3800 | 19,4 | -9,4 | 94,27 |
| 8 | 14 | 400 | 196 | 160000 | 5600 | 20,0 | -6,0 | 42,88 |
| 9 | 22 | 450 | 484 | 202500 | 9900 | 21,4 | 0,6 | 2,54 |
| 10 | 24 | 420 | 576 | 176400 | 10080 | 20,6 | 3,4 | 14,26 |
| сумма | 196 | 3860 | 4130 | 1512000 | 76290 | - | - | 281,28 |
Параметры уравнения регрессии можно определить и по другим формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений:
Уравнения регрессии имеет вид:
Коэффициент регрессии b=0,029показывает, что при росте производительности труда на 1 тыс. руб. прибыли на одного работника в среднем по данной совокупности хозяйств увеличивается на 0,029 тыс. руб.
2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:
где
- ошибка аппроксимации.Подставляем в уравнения регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения
(табл. 2). Найдем величину средней ошибки аппроксимации 
. Для этого заполним две последние графы табл. 2. Отсюда: 
В среднем расчетные значения прибыли на одного среднегодового работника отклоняются от фактических на 28,128%. Качество уравнения регрессии можно оценить как хорошее, так как средняя ошибка аппроксимации не превышает допустимого предела ().
3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:
где
и 
– средние значения признаков.Отсюда:
Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте производительности труда на 1% прибыли на одного работника повышается на 0,571%.
4. Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитываем корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:
где
- средняя сумма произведения признаков; 
и 
– средние квадратическое отклонения по х и у.Данные для расчета коэффициента представлены в табл. 2 и в пункте 3 решения. Отсюда:
Коэффициент корреляции
=0,251 свидетельствует, что связь между признаками есть, но не очень большая. Коэффициент детерминации 
=0,2512=0,063 показывает, что 6% …..5. Для проверки статической зависимости (существенности) значением линейного коэффициента парной корреляции рассчитываем t– критерий Стьюдента по формуле:
Вычисленное сравним с табличным (критическим) значением
при принятом уровне значимости а=0,05 и числе степеней свободы v=n-2=10-2=8. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,306.Фактическое значения критерия меньше табличного, что свидетельствует о…
6. Оценим значимости уравнения регрессии и показатели тесноты связи с помощью F – критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значения Fфакт с табличным (критическим) значением Fтабл.
Фактическое значение Fфакт по формуле:
В нашем случае:
Табличное значение Fтабл. По таблице значения F – критерия Фишера – при а=0,05, k1=m=1и k2=n-m-1=10-1-1=8 равно 5,32 (m – число параметров при переменной х).
Фактическое значения критерия меньше табличного, свидетельствует о …
7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Рассчитаем прогнозное значения прибыли на одного работника при средним росте производительности труда на 10%.
Прогнозное значение производительности труда:
Прогнозное значение прибыли на одного работника:
Задача 2
По 30 сельскохозяйственным предприятием имеются данные о средних значениях и вариации урожайности картофеля, количество внесенных органических удобрений и доли посадок картофеля после лучших предшественников, а так же о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 3)
Таблица 3 – Исходные данные.
| Показатель | Признак | Среднее значения | Среднее квадратическое отклонения | Линейные коэффициенты парной корреляции |
| Урожайность картофеля с 1 га, ц | y | 120 | 24 | - |
| Внесено органических удобрений на 1 га посадки картофеля, т | x1 | 21 | 2 |  |
| Доля посадок картофеля по лучшим предшественникам, % | x2 | 55 | 10 |   |
Требуется: