µ2 = P×m2 – µ = m√P, m = µ / √P, т.е. средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).
При достаточно большом числе измерений можно записать ∑m2P=∑∆2P (так как ∆ = m):
µ = √(∑(∆2×P)/n), т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе – число неравноточных измерений.
Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины по формуле:
M0 = µ / √∑P
Подставив вместо µ её значение получим :
M0 = √(∑∆2×P/n) / (√∑P) = √[(∑∆2×P) / n×(∑P)]
M0 = √[ (∆12P1 + ∆22P2 +… + ∆n2Pn) / n×(P1 + P2 + … + Pn) ] – формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель – произведение количества измерений на сумму их весов.
µ = √ [∑( V2×P ) / (n-1)] Это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: mµ = µ / [2×(n-1)] – это надёжность оценки µ.
Контрольная задача 1
Для исследования теодолита им был многократно измерен один и тот же угол. Результаты оказались следующими: 39˚17.4'; 39˚16.8'; 39˚16.6'; 39˚16.2'; 39˚15.5'; 39˚15.8'; 39˚16.3'; 39˚16.2'. Тот же угол был измерен высокоточным угломерным прибором, что дало результат 39˚16'42". Приняв это значение за точное, вычислить среднюю квадратическую погрешность, определить надёжность СКП, найти предельную погрешность.
Решение:
| № измерения | Результаты измерений, l | Погрешности ∆ = l-X | ∆2 |
| 1 | 39˚17.4' | +0.7' | 0.49 |
| 2 | 16.8 | +0.1 | 0.01 |
| 3 | 16.6 | -0.1 | 0.01 |
| 4 | 16.2 | -0.5 | 0.25 |
| 5 | 15.5 | -1.2 | 1.44 |
| 6 | 15.8 | -0.9 | 0.81 |
| 7 | 16.3 | -0.4 | 0.16 |
| 8 | 16.2 | -0.5 | 0.25 |
| Сумма | 3.42 |
39˚16'42" = 39˚16.7'
Средняя квадратическая погрешность: m = √([∆2]/n),
m = √(3.42/8) = 0.65'.
Оценка надёжности СКП: mm = m / √2n,
mm = 0.65 / √16=0.1625≈0.16'.
Предельная погрешность: ∆пр = 3×m,
∆пр = 3×0.65' = 1.96'
Контрольная задача 2
Дана совокупность невязок треугольников триангуляции объёмом 50 единиц. Считая невязки истинными погрешностями, вычислить среднюю квадратическую погрешность и произвести надёжность СКП, вычислить предельную погрешность. На данной совокупности проверить свойство случайных погрешностей:
Lim[∆] / n =0, для чего вычислить W = [W] / n.
| N | W | N | W | N | W | N | W | N | W |
| 1 | +1,02 | 11 | -1,72 | 21 | -0,90 | 31 | +2,80 | 41 | -0,44 |
| 2 | +0,41 | 12 | +1,29 | 22 | +1,22 | 32 | -0,81 | 42 | -0,28 |
| 3 | +0,02 | 13 | -1,81 | 23 | -1,84 | 33 | +1,04 | 43 | -0,75 |
| 4 | -1,88 | 14 | -0,08 | 24 | -0,44 | 34 | +0,42 | 44 | -0,80 |
| 5 | -1,44 | 15 | -0,50 | 25 | +0,18 | 35 | +0,68 | 45 | -0,95 |
| 6 | -0,25 | 16 | -1,89 | 26 | -0,08 | 36 | +0,55 | 46 | -0,58 |
| 7 | +0,12 | 17 | +0,72 | 27 | -1,11 | 37 | +0,22 | 47 | +1,60 |
| 8 | +0,22 | 18 | +0,24 | 28 | +2,51 | 38 | +1,67 | 48 | +1,85 |
| 9 | -1,05 | 19 | -0,13 | 29 | -1,16 | 39 | +0,11 | 49 | +2,22 |
| 10 | +0,56 | 20 | +0,59 | 30 | +1,65 | 40 | +2,08 | 50 | -2,59 |
Решение:
W = [W] / n, W = +2,51 / 50 = 0,05
Среднюю квадратическую погрешность в данном случае целесообразно вычислять по формуле: m = √( [W2] – [W]2/n ) ÷ (n-1),
m = √( 76,5703 – (2,512)/50) ÷ 49 = 1,249
Оценку надёжности СКП по формуле: mm = m / √2(n-1),
mm = 1,249/ √(2×49) = 0,13.
Предельная погрешность по формуле: ∆пр = 3×m,
∆пр = 3×1,249= 3,747.
S = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
если x2 = 6 068 740 м; y2 = 431 295 м;
x1 = 6 068 500 м; y2 = 431 248 м;
mх = my= 0,1 м.
Решение:
S =√(6 068 740 - 6 068 500 )2 + (431 295 - 431 248)2 =235,36
mm = 0,1/ √4 = 0,05
Один и тот же угол измерен 5 раз с результатами: 60˚41'; 60˚40'; 60˚40'; 60˚42'; 60˚41'. Произвести математическую обработку этого ряда результатов измерений.
Решение:
| Nп/п | l, ˚ | ε, ' | v, ' | v2, ' |
| 1 | 60˚41' | 1 | -0,2 | 0,04 |
| 2 | 60˚40' | 0 | +0,8 | 0,64 |
| 3 | 60˚40' | 0 | +0,8 | 0,64 |
| 4 | 60˚42' | 2 | -1,2 | 1,44 |
| 5 | 60˚41' | 1 | -0,2 | 0,04 |
| Сумма | 4 | 0 | 2,8 |
l0 – минимальное значение измеряемой величины, l0 = 60˚40' ; ε – остаток, полученный как ε = l1 - l0 ; L – наилучшее значение измеряемой величины,
L = [l]/n; m = √([ v2]/(n – 1), где v-уклонение от арифметического среднего. М – оценка точности среднего арифметического значения, М = m/√n.
L = 60˚40' + 4/5 = 60˚40,8'
m = √2,8 / 4 = 0,7'
М = 0,7'/√5 = 0,313'
Произвести математическую обработку результатов измерения планиметром площади одного и того же контура: 26,31; 26,28; 26,32; 26,26; 26,31 га.
Решение:
| Nп/п | l, га | ε, га | v, га | v2, га |
| 1 | 26,31 | 0,05 | -0,014 | 0,000196 |
| 2 | 26,28 | 0,02 | +0,016 | 0,000256 |
| 3 | 26,32 | 0,06 | -0,024 | 0,000576 |
| 4 | 26,26 | 0 | 0,036 | 0,001296 |
| 5 | 26,31 | 0,05 | -0,014 | 0,000576 |
| Сумма | 0,18 | 0 | 0,0029 |
l0 = 26,26
L = 26,26 + 0,18/5 = 26,296 га
m = √0,0029/ 4 = 0,0269 га
М = 0,0269/√5 = 0,01204 га
Контрольная задача 8
При исследовании сантиметровых делений нивелирной рейки с помощью женевской линейки определялась температура в момент взятия отчета. Для пяти сантиметровых отрезков получены значения: 20,3˚; 19,9˚; 20,1˚; 20,2˚; 20,3˚. Провести математическую обработку результатов измерения.
Решение:
| Nп/п | l, ˚ | ε, ˚ | v, ˚ | v2, ˚ |
| 1 | 20,3 | 0,4 | -0,14 | 0,0196 |
| 2 | 19,9 | 0 | -0,26 | 0,0676 |
| 3 | 20,1 | 0,2 | -0,06 | 0,0036 |
| 4 | 20,2 | 0,3 | 0,04 | 0,0024 |
| 5 | 20,3 | 0,4 | 0,14 | 0,0196 |
| Сумма | 1,3 | 0 | 0,1128 |
l0 = 19,9
L = 19,9 + 1,3/5 = 20,16˚
m = √0,1128/ 4 = 0,168˚
М = 0,168/√5 = 0,075˚
3.3 Веса измерений
Вес измерения – это отвлеченное число, обратно пропорциональное квадрату СКП результата измерения.
Формула веса:
P = К / m2,
где P – вес результата измерения,
К – произвольное постоянное число для данного ряда измерений,
m – СКП результата измерения.
Из формулы видно, что чем меньше СКП измерения, тем оно точнее и его вес больше.
Отношение весов двух измерений обратнопропорционально квадратам СКП этих измерений, т.е.:
P1 / P2 = m22 / m12
Если имеется ряд измерений l1, l2, …, ln, то очевидно, что вес одного измерения будет меньше веса среднего арифметического этих значений, т.е.:
Pm < PM,
где m – погрешность одного измерения,
M – погрешность среднего арифметического значения.
Тогда отношение весов обратнопропорционально отношению квадратов СКП:
PM/Pm = m2/M2;M = m/√n;
PM/Pm = m2/ (m/√n) 2 = m2/ (m2/n) = m2×n/m2 = n.
Таким образом, вес среднего арифметического значения больше отдельно взятого значения в n раз. Следовательно, вес арифметической середины равен числу измерений, из которых она составлена.
Общая арифметическая середина из неравноточных измерений равна дроби, в числителе которой – сумма произведений средних арифметических значений из результатов измерений на их веса, а знаменатель – сумма всех весов измерений. Следовательно, вес общей арифметической середины равен сумме весов неравноточных измерений:
A0 = (a1P1 + a2P2 + … + anPn) / (P1 + P2 + … +Pn),
где A0 – общая арифметическая середина,
ai – результат отдельно взятого измерения,
Pi – вес отдельно взятого измерения.
СКП любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1, делимой на корень квадратный из веса этого результата, т.е.:
m = M/√P,
где m – СКП любого результата измерения;