Примеры решения задач по статистике (стр. 2 из 2)

Проранжируем значения, полученные по трем тестам каждым испытуемым.

Сумма рангов по каждому испытуемому должна составлять 6. Расчетная общая сумма рангов в критерии определяется по формуле:

где n - количество испытуемых

с - количество условий измерения (замеров).

В данном случае,

6*3*(3+1)/2 = 36

Показатели времени решения тестов 1, 2, 3 и их ранги (n=6)

№ п/п	Тест 1		Тест 2		Тест 3
№ п/п	Время решения 1-ого задания теста, сек.	Ранг	Время решения 2-ого задания теста, в сек.	Ранг	Время решения 3-его задания теста в сек.	Ранг
1	8	3	3	1	5	2
2	4	1	15	3	12	2
3	6	1	23	3	15	2
4	3	1	6	3	6	2
5	7	2	12	3	3	1
6	15	2	24	3	12	1
Суммы	43	10	83	16	53	10
Средние	7,2	13,8	8,8

Общая сумма рангов составляет: 10+16+10=36, что совпадает с расчетной величиной.

Сформулируем гипотезы.

Н₀: Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных тестов, являются случайными.

H₁: Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных тестов, не являются случайными.

Теперь нам нужно определить эмпирическое значение χ²_r, по формуле:

где с - количество условий;

n - Количество испытуемых;

T²_j - суммы рангов по каждому из условий.

Определим χ²_r для данного случая:

χ²_r = ((12/6*3*(3+1))*(100 +256 + 100)) – 3*6*(3+1) = 4

Поскольку в данном примере рассматриваются три задачи, то есть 3 условия, с=3. Количество испытуемых n=6. Это позволяет нам воспользоваться специальной таблицей χ²_r, а именно табл. VII-A Приложения I. Эмпирическое значение χ²_r=4 при с=3, n=6 точно соответствует уровню значимости р=0,184.

Ответ: Н₀ отклоняется. Принимается Н₁. Различия во времени, которое испытуемые проводят над решением трех различных тестов, неслучайны (р=0,184).

9. Решить задачу, используя критерий Розенбаума.

Экспериментатор измерил, используя тест Векслера, показатели интеллекта у двух групп респондентов из городской и сельской местности. Его интересует вопрос – будут ли обнаружены статистические значимые различия в показателях интеллекта. В городской группе было 11 человек, в сельской – 12.

город	96	100	104	104	120	120	120	120	126	130	134
село	76	82	82	84	88	96	100	102	Ё04	110	118	120

Решение

Таблица 1.

Индивидуальные значения вербального интеллекта в выборках городских (n₁=11) и сельских (n₂=12 ) респондентов

Город	Показатель вербального интеллекта	Село	Показатель вербального интеллекта

96
100
104
104
120
120
120
120
126
130
134

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

76
82
82
84
88
96
100
102
104
110
118
120

Упорядочим значения в обеих выборках, а затем сформулируем гипотезы:

H₀: горожане не превосходят сельчан по уровню вербального интеллекта.

H₁: горожане превосходят сельчан по уровню вербального интеллекта.

Таблица 2

Упорядоченные по убыванию вербального интеллекта ряды индивидуальных значений в двух выборках

1 ряд – горожане	2 ряд – сельчане

1 2 3 4 5 6 7	120 118 110 104 102 100 96
8 9 10 11 12	88 84 82 82 76	S₂

Как видно из табл. 2, мы правильно обозначили ряды: первый тот, что "выше" - ряд горожан, а второй, тот, что "ниже” - ряд сельчан. По табл. 2. определяем количество значений первого ряда, которые больше максимального значения второго ряда: S₁=3. Теперь определяем количество значений второго ряда, которые меньше минимального значения первого ряда: S₂=5. Вычисляем по формуле:

Q_эмп=S₁+S₂=3 + 5 =8

По табл.1 Приложения 1 определяем критические значения Q для n₁=11, n₂=12;

Правило отклонения Н₀ в принятия Н₁ Если эмпирическое значение критерия равняется критическому значению,cответствующему р≤0,05 или превышает его, то Н₀ отклоняется, но мы еще не можем определенно принять Н₁. Если эмпирическое значение критерия равняется критическому значению, соответствующему р≤0,01 или превышает его, то Н₀ отклоняется и принимаетсяH₁.

Рис 1. ось значимости для критерии Q Разенбаума

Эмпирическое значение критерия попадает в область между Q_0,05 и Q_0,01. Это зона "неопределенности": мы уже можем отклонить гипотезу о недостоверности различий (Н₀), но еще не можем принять гипотезы об их достоверности (H₁).

Ответ: мы уже можем отклонить гипотезу о недостоверности различий интеллекта между городскими и сельскими жителями(Н₀), но еще не можем принять гипотезы об их достоверности (H₁).

10. Как рассчитать коэффициент корреляции Спримена, если мы имеем одинаковые ранги?

Поскольку в обоих сопоставляемых ранговых рядах присутствуют группы одинаковых рангов, перед подсчетом коэффициента ранговой корреляции необходимо внести поправки на одинаковые ранги Т_а и Т_b:

где a - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А,

b - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду В.

Для подсчета эмпирического значения г_s используем формулу:

При больших количествах одинаковых рангов изменения r_s могут оказаться гораздо более существенными. Наличие одинаковых рангов означает меньшую степень днфферентдкрованностк упорядоченных переменных и, следовательно, меньшую возможность оценить степень связи между ними.

[1] Определения и формулы расчета М и σ даны в параграфе «Распределение признака. Параметры распределения».