Сущность франчайзинга (стр. 3 из 5)

Вступительный взнос считается пропорциональным оптимальному выпуску:

(12)

Так как роялти рассчитывается как процент от оборота, то коэффициент r должен быть единым для всей сети. Но франчайзи часто сообщают преуменьшенные данные о своих доходах, чтобы снизить платежи франчайзеру, а прямые проверки слишком дороги. Поэтому франчайзеру имеет смысл подтолкнуть франчайзи к декларированию истинных объемов производства (продаж) с помощью договора, предусмотрев увеличение коэффициента роялти при сообщении об уровне доходов, меньшем оптимального, то есть

(13)

где a > 1 является общим для всей франчайзинговой сети.

Пусть e — средняя относительная величина обманов, выявленных при предыдущих проверках в системе. Тогда имеет смысл определить a из условия a (1 – e) = 1, то есть сделать традиционный обман невыгодным, а обман в более крупных размерах будет слишком очевидным для франчайзера, и он, наверняка, устроит в такой точке проверку.

СТРАТЕГИЯ РАЗВИТИЯ ФРАНЧАЙЗИНГОВОЙ СИСТЕМЫ

После определения оптимальных параметров функционирования отдельных франчайзинговых предприятий можно перейти к рассмотрению франчайзинговой системы в целом.

Предположим, что весь рынок разбит на N территориальных участков, на каждом из которых может работать не более одного предприятия (собственного или франчайзингового) данной системы. I^c_n(t) — индикаторная функция, которая равна единице, если в момент времени t на n-ом участке функционирует собственное предприятие франчайзера, в других случаях эта функция равна нулю; I^Ф_n(t) — индикаторная функция, которая равна единице, если в момент t на n-ом участке работает франчайзинговое предприятие этой системы, иначе она равна нулю.

Пусть p^С_n(t) и p^Ф_n(t) — оптимальные размеры прибыли, которую может получить на n-ом участке в момент t собственное предприятие, и дохода франчайзингового предприятия соответственно, а r — оптимальное роялти. Эти величины определяются способами, описанными в предыдущих разделах.

Функции a(t) и w(t) определяют расходы на рекламу и исследования.

L(t) — долг франчайзера, r₁ — процент по нему; D(t) — ликвидные средства франчайзера, а g — их доходность.

Пусть r(t) и q(t) — вероятности проверок и обмана соответственно, H₁ и H₂ — средние величины обмана и штрафа за вскрытый факт обмана; M — средняя стоимость мониторинга одной точки.

Параметры r₁, g, H₁, H₂ и M определяются вне модели.

Тогда, считая время дискретным, прибыль франчайзера в период t

(1)

где

, функция Q(A_t,W_t) отражает влияние рекламы и исследований на размер прибыли элементов сети, а p_Tr — прибыль от изменения структуры франчайзинговой системы

(2)

где Z_n и E_n — невозвращаемые затраты при создании собственного и франчайзингового (с учетом вступительного взноса) предприятия, определяемые вне модели, P^s_n(t), P^B_n(t) — прибыль от продажи, покупки предприятия, а S_n, B_n, N^c_n, N^ф_n, L^c_n, L^ф_n — индикаторные функции, равные либо нулю, либо единице, отражающие продажу собственной точки во франчайзинг, выкуп франчайзы, создание новой собственной и франчайзинговой точек, ликвидацию собственной и франчайзинговой точек на n-ом участке. Так как цена предприятия равна сумме прибыли, которую может получить франчайзи за оставшееся время, и ликвидационной стоимости, то прибыль франчайзера от сделок (T — горизонт планирования)

(3)

Индикаторные функции выражаются из системы

(4)

Частота проверок, проводимых франчайзером, определяется из условия

u_p = r(qH₂ – M) – (1 –r) qH₁®max,r

а вероятность обмана франчайзи из условия

u_{a = –} rqH₂ + (1 – r) qH₁® max . q

Равновесие в этой игре достигается при

Интересно, что вероятность проверки r зависит только от отношения штрафа к величине обнаруженного проверкой обмана, которое определяется во франчайзинговом договоре, и не зависит от средней величины обманов. Предположим, что в договоре это отношение равно единице, тогда в (1) выражение в скобках во второй сумме равно u_p = –M/2. Тогда выражение (1) примет вид

(5)

Если D(t) – разность между получаемыми кредитами и возвратом долга, то задолженность изменяется по закону:

(6) L(t) = (1 + r₁) L(t-1) + D(t).

Считая, что франчайзер не дает деньги в долг, добавляем условие

(7) L ³ 0.

Баланс денежных потоков имеет следующий вид:

(8)

где X^C_n(t) и C_n(t) — доход и затраты собственного предприятия франчайзера, вычисляемые из приведенной в предыдущем разделе задачи оптимизации для конкретной собственной точки, а P^L_n — ликвидационная стоимость предприятия в конечный момент времени T.

Собственный капитал франчайзера

(9) K(t)=K(0)+

.

Возможные планы франчайзера ограничиваются требованиями ликвидности и достаточности собственного капитала

(10)

,

где k_l» 0,2 — нормативный коэффициент ликвидности, а k_a » 0,6 — нормативный коэффициент автономии.

Франчайзер решает задачу максимизации своей прибыли, то есть, фактически, задачу:

(11) K(Y, T) ® max ,Y

где Y — набор переменных задачи (2) – (11), определяющий возможную стратегию развития франчайзинговой системы. Y*(T) = arg max K(Y, T) — оптимальная стратегия.

Из условий (2) – (9) все переменные, определяющие собственный капитал франчайзера в конечный момент времени, выражаются через I^c_n(t), I^ф_n(t), L(t), D(t), a(t) и w(t), где t = 1,...,T, и задача (11) решается при условиях (7), (10) и

(12) I^c_n(t) I^ф_n(t) = 0,

то есть невозможно существование на одном участке в один момент времени и собственного и франчайзингового предприятий.

В предположении, что франчайзер берет максимально возможный кредит и держит допустимый минимум ликвидных средств, так как у них низкая доходность, неравенства (10) заменяются на равенства, из которых находятся L(t) и D(t), и условие (7) неотрицательности L(t) опускается. При этом набор переменных, определяющих стратегию, уменьшается до Y‘ = { I^c_n(t), I^ф_n(t), a(t), w(t)}.

Но даже в этом случае из-за большой размерности задачи и сложности выражения некоторых переменных через основные задача остается слишком сложной, и такая модель позволяет только проиллюстрировать механизм функционирования франчайзинговой системы, поэтому ниже для конкретных расчетов производятся дальнейшие упрощения.

Например, при определении оптимальных рекламных затрат можно решать следующую задачу. Пусть x(t) — прибыль без учета расходов на рекламу, u(t) — затраты на рекламу (u(t) ³ 0 — управление в рассматриваемой задаче). Тогда прибыль p(t) = x(t) – u(t). Так как x(t) — это прибыль получаемая в момент t в отсутствие рекламы, то, зная поток прибыли в начальный момент без использования рекламы p₀, можно получить начальное значение x(0) = p₀.

В качестве критерия разумно взять дисконтированную прибыль за весь период планирования T, то есть

(13)

,

где n — коэффициент дисконтирования.

Предположим, что без рекламы поток прибыли экспоненциально уменьшается с коэффициентом затухания k. Так как предельный эффект от рекламы падает при увеличении затрат на нее, то эту зависимость можно аппроксимировать, например, степенной функцией bu^a (0 < a < 1). Коэффициенты b и a определяются по методу наименьших квадратов для имеющихся эмпирических данных или оцениваются экспертами. Следовательно, получаем соотношение

(14)

.

Гамильтониан задачи (13), (14)

H(x,u,p,t) = (x-u)e^–nt + p(bu^a – kx).

Из уравнений Гамильтона получаем:

.

Решая это уравнение с учетом условия p(T) = 0, находим

(15) p(t) = [e^–nt – e^–k(T-t)+kt] / (k + n) .

По принципу максимума Понтрягина u(t) должна в каждой точке оптимальной траектории доставлять максимум функции Гамильтона, поэтому оптимальное управление находится из условия

– e ^–nt + apbu^a–1 = 0,

то есть

.

Используя формулу (15), получаем, что оптимальные затраты на рекламу равны

.

Видно, что затраты на рекламу со временем уменьшаются, обращаясь в нуль в конце периода планирования.

На рекламные расходы разумно наложить условие u(t) £ u_max(t), связанное с ограниченностью финансовых ресурсов. Тогда реальные затраты на рекламу будут определяться по правилу

u_опт(t) = min{u*(t), u_max(t)}.

В предельном случае, если планирование осуществляется на очень длительный период (при этом можно считать