Модель ринкової рівноваги (стр. 2 из 4)

Рівновага називається глобально стійкою, якщо вона в остаточному підсумку досягається незалежно від початкової точки, тобто

для всіх .

Глобальна стійкість припускає локальну. Зворотне невірно.

Аналіз локальної стійкості рівноваги ґрунтується на апроксимації швидкості зміни цін

біля рівноваги. Рівноважною точкою

є набір цін, що не змінюється в часі

(3)

в точці

, а для процесу "намацування" рівновага вимагає нульового надлишкового попиту для кожного товару

, . (4)

Нехай розглядається лінійний процес "намацування"

із точкою рівноваги в

. Розкладемо в ряд Тейлора в околі точки

,(5)

де

– матриця Якобі

,

оцінена в точці рівноваги. Через те, що

– точка рівноваги, й, визначивши вектор різниці між реальними та рівноважними цінами як , (2.41) матиме вигляд

(6)

Система диференціальних рівнянь (6) стійка, тобто

, тоді й тільки тоді, коли всі характеристичні корені матриці Якобі мають невід’ємні дійсні числа. Дана умова виконується, якщо всі товари є замінними, тобто збільшення ціни на будь-який продукт при незмінних інших цінах приводить до збільшення надлишкового попиту на будь-який інший продукт для всіх , . Отже, точка рівноваги є локально стійкою, якщо всі продукти є замінними.

2 Ітеративний процес знаходження рівноважних цін

Розглянемо ітеративний процес по Вальрасу, що імітує дію ринкового механізму з встановлення рівноважних цін на ринку.

За господарські суб'єкти, що беруть участь у процесі функціонування ринку, виберемо дві фірми, кожна з яких, володіє єдиним доступним їм обом фактором, виробляє по одному виду продукції кінцевого попиту, і одного споживача, що пропонує цей попит. Умовимося, що обмін здійснюється через єдиного посередника – аукціонника. У цьому випадку економічний цикл виглядатиме так, як показано на рис. 1.

Рисунок 1.

Проблема оптимального розподілу ресурсів для такої економіки формулюється таким чином.

Умови попиту (D-Demand) і пропозиції (S-Supply) продукції:

.

Умови попиту та пропозиції ресурсів:

.

Функція корисності, що максимізується споживачем:

.

Тут

– обсяг пропозиції -го продукту -им підприємством;

– обсяг попиту з боку споживача на -й продукт;

– пропозиція ресурсу;

– обсяг попиту на ресурс з боку -го підприємства;

– виробнича функція -го підприємства;

– функція корисності споживача.

Ітеративний процес знаходження рівноважних цін складається з таких п’яти кроків на кожній ітерації.

1. Аукціонник указує

-й фірмі ціну на її продукцію і ціну фактора , а також повідомляє споживачеві ціни й ціну попиту, що дорівнює граничній корисності , , де – функція корисності споживача, задана як , де , – коефіцієнти функції корисності споживача.

2. Фірма

з виробничою функцією , виходячи з заданих їй цін, обирає таке сполучення витрат і результатів виробництва , , , що максимізує її прибуток

і подає це сполучення на розгляд аукціонника.

Необхідною умовою максимізації прибутку підприємства є

при .

Отже, з огляду на те, що

при

одержуємо

,

де

, – коефіцієнти виробничої функції -ї фірми.

3. Споживач визначає попит на

-й продукт у такий спосіб. Якщо на -й продукт попиту немає або гранична корисність споживача менша за граничні витрати, то споживач залишає величину попиту без змін. У протилежному випадку він коректує обсяг попиту на -й продукт за формулою

, ,

де

, , – додатні коефіцієнти.

4. Обчислюється надлишковий попит, який дорівнює

Якщо

з точністю до дорівнює 0, тоді процес обчислення цін припиняється та вважається, що сформовано рівноважну систему цін, яка задовольняє і фірму й споживача.