0,95 (С1n + С0 D0 (4)) .
Во втором случае фактически проводится сплошной контроль с исправлением дефектов и затратами С1N. Суммарные затраты при использовании выборочного контроля равны
0,95 (С1n + С0 D0 (4)) + 0,05 С1N .
Он более выгоден, чем отсутствие контроля (с добавлением "запасных" изделий), в случае справедливости неравенства
0,95 (С1n + С0 D0 (4)) + 0,05 С1N < С0 D0 (4),
что эквивалентно неравенству
19 С1n + С1N < С0 D0 (4).
Сравнение с формулой (16) показывает, что если контроль не является разрушающим, то выборочный контроль менее выгоден, чем сплошной (по сравнению с формулой (16) добавляется первое слагаемое в левой части последней формулы), и тем более весьма проигрывает в экономической эффективности по сравнению с отсутствием контроля в сочетании с пополнением партии.
Итак, введение статистического контроля в схеме пополнения партии не выгодно.
От системы контроля к системе технического обслуживания. Вернемся к первому из указанных ранее вариантов замены продукции. Что выгоднее - сплошной контроль на предприятии или замена дефектных изделий, обнаруженных потребителями? Реальное перекладывание контроля на потребителей влечет потери, связанные с удовлетворением их претензий, но при малой доле дефектных изделий эти потери малы по сравнению с затратами на контроль.
Действительно, пусть W - средние потери поставщика, связанные с пропуском потребителю дефектной единицы продукции. Сюда входят, в частности, такие виды потерь:
- стоимость новой единицы продукции (при замене изделия или возврате его стоимости);
- расходы системы распределения продукции и гарантийного ремонта, включая издержки на устранение дефектов;
- потери из-за нежелательного изменения предпочтений потребителя, из-за снижения имиджа фирмы;
- затраты на возмещение ущерба, понесенного потребителем, страховые сборы, судебные издержки, и т.д.
Потери W в несколько раз (по экспертной оценке - обычно в 5-10 раз) превышают расходы С0 на изготовление единицы продукции. Кроме того, для быстрого решения проблем потребителей, связанных с обнаружением дефектов, необходима развитая система технического обслуживания.
Пусть изготовлена партия продукции объема N. Тогда расходы на сплошной (неразрушающий) контроль составляют С1N (при этом дефектные единицы продукции извлекаются и утилизируются, расходами на утилизацию или доходами от нее в настоящем изложении пренебрегаем). Пусть p - доля дефектных единиц продукции в партии. Тогда Np - математическое ожидание числа дефектных единиц продукции в партии, а WNp - математическое ожидание потерь. Если
WNp < С1 N, p < С1 / W, (18)
то выгоднее отказаться от сплошного контроля. При повышении качества, т.е. снижении доли дефектности, целесообразно переходить к поиску и устранению дефектов не непосредственно на предприятии, а в пунктах системы технического обслуживания.
В формуле (18) участвует математическое ожидание WNp. Реальные потери могут быть больше, но не намного. Как и выше, с помощью теоремы Муавра-Лапласа можно утверждать, что практически наверняка они не превышают WD0(4), а потому преимущество решения об отказе от контроля неоспоримо при
WD0(4) < С1N, p + 4 (p(1-p))1/ 2 / N1/ 2 < С1 / W. (19)
Аналогично выводу неравенства (17) заключаем, что неравенство (19) наверняка будет выполнено, если
p + 2 / N1/ 2 < С1 / W. (20)
Пусть С1 / W = 0,1, выпускается партия объема N = 1600. Тогда согласно неравенству (20) отказ от контроля выгоден уже при p< 0,05, т.е. граничное значение соответствует довольно низкому уровню качества - 1 единица продукции из 20.
Выгодно ли в рассматриваемой ситуации вводить выборочный контроль? Пусть объем контроля равен n, приемочное число с = 0, с вероятностью y партия принимается, а с вероятностью 1 - y бракуется (и затем подвергается разбраковке). В первом случае расходы на контроль равны С1n, а остальная часть партии содержит в среднем (N - n) p дефектных единиц продукции, и средние издержки равны y{С1n + W(N - n)p}. Во втором случае суммарные затраты равны (1 - y)С1N . Следовательно, введение контроля выгодно, если
y{С1n + W(N - n)p} + (1 - y)С1 N < WNp .
Преобразуем это неравенство к виду
yn{С1 - Wp}(1 - y)-1 + С1N < WNp. (21)
Если выполнено неравенство p<С1/W, то второе слагаемое в левой части неравенства (21) больше правой части этого неравенства, в то время как первое слагаемое в левой части (21) положительно. Следовательно, неравенство (21) неверно, и введение выборочного контроля нецелесообразно - как и в разобранном ранее случае метода пополнения партий.
Выше приведен базовый (простейший, исходный) метод сравнения различных систем взаимоотношений поставщиков и потребителей. Целесообразно дальнейшее его развитие, которое предоставляем читателю.
Отметим в заключение, что реально статистический контроль качества продукции, осуществляемый поставщиком (выходной контроль), решает две основные задачи: обеспечение интересов потребителя и обнаружение разладок собственных технологических процессов (по результатам контроля последовательности партий). Как показано выше, для решения первой из этих задач он не всегда оптимален. Вторую из названных задач также часто эффективнее решать с помощью иных методов, например, обнаруживать разладку технологических процессов с помощью тех или иных контрольных карт. Таким образом, область применения методов статистического приемочного контроля является довольно ограниченной. Очевидно, однако, что нельзя исключать эти методы из арсенала менеджеров по качеству, в частности, при использовании концепции "всеобщего управления качеством (TQM - Total Quality Management)". Хотя бы потому, что они незаменимы при использовании разрушающих методов контроля.
Наиболее перспективным представляется использование результатов настоящего пункта в рамках концепции контроллинга - современной концепции системного управления организацией, в основе которой лежит стремление обеспечить ее долгосрочное эффективное существование (см., например, [11-13]).
Итак, в настоящем пункте сформулирован основной парадокс теории статистического приемочного контроля - повышение качества выпускаемой продукции приводит к увеличению объема контроля. Описан способ разрешения этого парадокса на основе перехода от чисто технической политики выбора плана контроля к технико-экономической, основанной на сравнении по экономическим показателям схем контроля и схем технического обслуживания и пополнения партий. Проанализирован базовый метод такого сравнения, позволяющий выделить область экономического преимущества схемы пополнения партий и схемы технического обслуживания по сравнению со схемой контроля.
Статистический контроль по двум альтернативным признакам
и метод проверки их независимости по совокупности малых выборок
В настоящем пункте рассмотрим статистический приемочный контроль по двум альтернативным признакам одновременно. Обсуждается соотношение входного уровня дефектности изделия в целом с входными уровнями дефектности отдельных контролируемых параметров. На основе результатов статистики объектов нечисловой природы (глава 8) рассмотрен метод проверки независимости двух альтернативных признаков. Метод нацелен на применение прежде всего в задачах статистического контроля качества продукции. При этом проверка независимости проводится по совокупности малых выборок, т.е. в так называемой асимптотике А.Н.Колмогорова, когда число неизвестных параметров распределения не является постоянным, а растет пропорционально объему данных.
При статистическом контроле качества продукции, в частности, при сертификации, чаще всего используют контроль по альтернативным признакам. При этом устанавливается, соответствует ли контролируемый параметр единицы продукции (изделия, детали) заданным в нормативно-технической документации требованиям или не соответствует. Если соответствует - единица продукции признается годной. Примем для определенности, что в этом случае результат контроля кодируется символом 0. Если же не соответствует - единица продукции признается дефектной, а результат контроля кодируется символом 1.
Таким образом, в рассматриваемой нами математической модели контроля альтернативный признак - это функция X = X(w), определенная на множестве единиц продукции W = {w} и принимающая два значения 0 и 1, причем X(w) = 0 означает, что единица продукции w является годной, а X(w) = 1 - что она является дефектной.
Методы статистического контроля, в частности, включенные в государственные стандарты и иную нормативно-техническую документацию (НТД), как правило, используют контроль по одному признаку. В НТД указывают правила выбора планов контроля и расчета различных их характеристик, приводят графики оперативных характеристик и т.п.
Однако на производстве контроль нередко проводится по нескольким альтернативным признакам. Возникает проблема выбора плана контроля и расчета его характеристик. В настоящее время для решения этой проблемы нет достаточно обоснованных и общепринятых рекомендаций.
Рассмотрим сначала контроль по двум альтернативным признакам X(w) и Y(w). В вероятностной модели X(w) и Y(w) - случайные величины, принимающие два значения - 0 и 1. Пусть, пользуясь стандартной терминологией,
p1 = P ( X(w) = 1)
- входной уровень дефектности для первого признака, а
p2 = P ( Y(w) = 1)
- для второго. Вероятности результатов контроля по двум признакам одновременно описываются четырьмя числами:
P ( X(w) = 0, Y(w) = 0) = p00 , P ( X(w) = 1, Y(w) = 0) = p10 ,
P ( X(w) = 0, Y(w) = 1) = p01 , P ( X(w) = 1, Y(w) = 1) = p11 ,