Абсолютные и относительные величины. Средние величины и показатели вариации (стр. 3 из 3)

Средняя гармоническая взвешенная применяется в тех случаях, когда весами являются не частоты f, а произведения этих частот на значения признака: М = xf.

Пример 1.3.9. Имеются следующие данные (табл. 1.3.6).

Таблица 1.3.6

Заработная плата рабочих в цехах предприятия

Цех	Средняя заработная плата, руб.	Фонд заработной платы, тыс. руб.
Литейный	3820	191
Сборочный	2960	592

Вычислите среднюю заработную плату рабочих по предприятию в целом.

Решение

Средняя заработная плата рабочих по цехам может быть вычислена делением фонда заработной платы на численность рабочих. Этот подход должен быть сохранен и при расчете общей средней, т.е. в числителе дроби необходимо представить общий по всем цехам фонд заработной платы, а в знаменателе – общую численность рабочих. Однако фонд заработной платы по цехам (М) есть произведение средних заработков на число рабочих f. Фонд заработной платы - единственно возможный в данном случае соизмеритель - вес при расчете средней.

Оба эти обстоятельства обусловливают применение средней гармонической, а с учетом того, что заработки по отдельным цехам получают неодинаковые по численности группы рабочих, следует использовать среднюю гармоническую взвешенную. Тогда

При этом 783000 руб. - общий фонд заработной платы по предприятию, 250 чел. - общая численность работников (50 и 200 чел. - численность по каждому цеху в отдельности).

Если веса при расчете средней у отдельных единиц совокупности одинаковы, то средняя гармоническая взвешенная обращается в среднюю гармоническую простую:

(Mвыносится за скобки, поскольку является общим множителем). Проиллюстрируем расчет на условном примере.

Пример 1.3.10. Цена за единицу товара А, продаваемого в первой торговой точке, составила 20 руб., во второй - 30 руб. Какова средняя продажная цена товара, если выручка от продаж товара в торговых точках одинакова?

Решение

Поскольку весами при расчете средней являются выручки от продажи (товарооборота), а сама выручка представляет собой произведение цены х на количество проданного товара/, вычисления проводили по средней гармонической взвешенной, равенство весов позволяет осуществлять расчеты по формуле средней гармонической простой:

6. Структурные средние

Наряду с расчетом средней арифметической и средней гармонической для вариационных рядов распределения исчисляют структурные средние - моду, медиану.

Мода - это значение признака (варианта), которое чаще всего встречается в исследуемой совокупности и имеет наибольшую частоту.

Медианой называется значение признака (варианта), которое находится в середине вариационного ряда и делит ряд пополам.

В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле

где хМо - минимальная граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

частота интервала, следующего за модальным.

Медиана для интервального ряда распределения рассчитывается по формуле

где -

нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному;

- частота медианного интервала.

Для характеристики структуры вариационного ряда дополнительно к медиане исчисляют квартили, которые делят ряд по сумме частот на четыре равные части, квинтели - на пять равных частей, децили - на десять равных частей и перцентили - на сто равных частей.

Пример 1.3.11. Имеются следующие данные (табл. 1.3.7).

Таблица 1.3.7

Месячная заработная плата рабочих группы малых предприятий одного из регионов

Группы рабочих по размеру заработной платы, руб.	Число рабочих, чел.
2000-30003000-40004000-50005000-60006000-7000Свыше 7000	153575402510
Итого	200

Исчислите среднюю заработную плату, моду и медиану заработной платы рабочих малых предприятий.

Решение

По условию задачи имеется интервальный ряд распределениярабочих, поэтому средняя заработная плата исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной (сначала определим середину каждого интервала, т.е.

Следовательно, средняя месячная заработная плата рабочих малых предприятий составляет 4775 руб. Далее исчислим моду и медиану:

Следовательно, половина рабочих имеет среднемесячную заработную плату меньше 4667 руб., а половина - больше этой суммы.

7. Виды показателей вариации

Показатели вариации являются числовой мерой уровня колеблемости признака. Одновременно по размеру показателя вариации делают вывод о типичности, надежности средней величины, найденной для данной совокупности, и об однородности самой совокупности.

Важнейшие виды показателей вариации:

1) размах вариации [R]

R = xmax - xmin

2) среднее линейное отклонение [

]

3) дисперсия [σ2]

4) среднее квадратическое отклонение [σ]

5) коэффициент вариации [v]

Размах вариации учитывает только крайние значения признака и не учитывает все промежуточные.

Дисперсия не имеет единиц измерения.

Равные значения средних квадратических отклонений, рассчитанных для разных совокупностей, не позволяют делать вывод об одинаковой степени вариации.

Коэффициенты вариации позволяют сравнить степени вариации признака различных совокупностей.

Сам по себе коэффициент вариации, если его величина не превышает 33-35%, позволяет сделать вывод об относительно невысокой колеблемости признака, о типичности, надежности средней величины, об однородности совокупности. Если он более 33-35%, то все приведенные выводы следует изменить на противоположные.

Проиллюстрируем расчет показателей вариации.

Пример 1.3.12. Имеется ряд распределения (табл. 1.3.8).

Таблица 1.3.8

Распределение по стажу

Стаж, лет	Число работников, чел.
1-74-77-10	452
Итого	11