Основные понятия статистики (стр. 6 из 13)
По данным таблицы вычислим показатели вариации
1. Размах вариации R = 210 – 150 = 60 шт.
2. Среднее линейное отклонение
= 
шт. 
3. Дисперсия
= 324.4. Среднее квадратическое отклонение
= 18 шт.6. Коэффициент вариации
% = 9,8%.Как видно из расчётов, коэффициент вариации составляет 9,8% и, следовательно, типичность среднего значения высока.
В ряде задач статистическая совокупность оказывается разделенной на несколько групп. В этом случае вычисляют три вида дисперсий: общую
, межгрупповую 
и среднюю внутригрупповую дисперсию 
.Рассмотрим статистическую совокупность, которая разделена на mгрупп. (Это разделение может совпадать или не совпадать с группировкой той же совокупности, представленной вариационным рядом, в котором совокупность разделена на kгрупп). Обозначим количество элементов, попавших в i-ю группу через
( 
).Общая дисперсия
характеризует рассеяние признака по всей изучаемой совокупности под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности, и определяется по формуле (5.1)
, (8)где
– общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности.Межгрупповая дисперсия
отражает различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием фактора, положенного в основу группировки, и показывает рассеяние групповых средних вокруг средней величины признака в совокупности 
, (9)где
– средняя арифметическая по i-й группе.Внутригрупповая дисперсия используется для оценки рассеяния признака внутри группы. Она характеризует вариацию, не зависящую от значений признака, положенного в основу группировки (факторного признака), и возникающую под влиянием других факторов. Средняя внутригрупповая дисперсия вычисляется по формуле
, (10)Здесь
– дисперсия признака в i-й группе, где 
– частота признака 
в i-й группе.Общая, межгрупповая и средняя внутригрупповая дисперсии связаны правилом сложения дисперсий
= 
.Смысл этого соотношения заключается в том, что общая дисперсия, определяемая влиянием всех факторов, равна дисперсии, определяемой фактором группировки, и дисперсии, возникающей под влиянием прочих факторов.
В статистическом анализе вычисляют характеристики, зависящие от распределения частот по вариантам – от структуры распределения. Поэтому эти характеристики получили название структурных средних величин. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода
– значение признака, наиболее часто встречающееся в ряду распределения. Мода определяется различными способами в зависимости от вида вариационного ряда. В дискретном вариационном ряду мода – вариант с максимальной частотой в изучаемой совокупности.Пример. По данным статистического наблюдения получены значения величины X = {5, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 5, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 6}. Определить моду.
Построим вариационный ряд
| X | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | 6 |
Соответствующий сгруппированный вариационный ряд имеет вид:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| F | 6 | 3 | 1 | 2 | 2 | 1 |
Значение признака Х, имеющего наибольшую частоту (6) равно 1. Следовательно, для данного вариационного ряда
= 1.При отыскании моды в интервальном ряду сначала определяют модальный интервал – интервал, имеющий наибольшую частоту. Затем мода рассчитывается по формуле
, (11)где
– нижняя граница модального интервала; 
– величина модального интервала; 
– частота модального интервала, fm-1 – частота интервала, предшествующего модальному, fm+1 – частота интервала, следующего за модальным.Пример. По данным статистического наблюдения построен интервальный ряд распределения рабочих по заработной плате
| Зар. плата (руб.) | 1300-1400 | 1400-1500 | 1500-1600 | 1600-1700 | 1700-1800 |
| Число рабочих (частота) | 20 | 40 | 55 | 60 | 35 |
| Кумулятивная частота | 20 | 60 | 115 | 175 | 210 |
Найти моду.
Модальным интервалом является интервал (1600-1700). Подставив данные таблицы в формулу (5.5), получим
o =
1616,7 руб.Медиана
– значение признака (вариант), которое делит вариационный ряд на две равные части, одна из которых – со значениями признака меньше медианы, вторая – со значениями признака больше медианы.Медиана для дискретных и интервальных вариационных рядов определяется по-разному. Если дан дискретный несгруппированный вариационный ряд и число вариантов nнечетно, то
= 
, где 
; если число вариантов nчетное, = ( x 
+ x 
) / 2, где 
.Пример. По данным примера 5.2 найти медиану дискретного вариационного ряда.
Число вариантов nнесгруппированного ряда равно 15, следовательно, k = (n + 1)/2 = 8, и медиана равна 2.
Пример 5.3. Определить медиану по данным, приведенным в таблице
| Размер заработной платы (тыс. руб.) | Число работников (частота) | Накопленная частота |
| 5800 | 30 | 30 |
| 6000 | 45 | 75 |
| 6200 | 80 | 155 |
| 6400 | 60 | 215 |
| 6600 | 35 | 250 |
Решение. Сумма частот n = 250 – четно,
= 125. 
= 6200.