Статистические гипотезы (стр. 3 из 4)

Для нормального закона возможные значения случайной величины лежат в диапазоне от минус до плюс бесконечности, поэтому при расчетах оценок вероятностей крайний левый и крайний правый интервалы расширяются до минус и плюс бесконечности соответственно. Вычислить значения функции нормального распределения можно, воспользовавшись стандартными функциями табличного процессора или полиномом наилучшего приближения.

Сумма взвешенных квадратов отклонения c2=1,32. Число степеней свободы

k = 6–1–2=3,

так как уклонения связаны линейным соотношением

,

кроме того, на уклонения наложены еще две связи, ибо по выборке были определены два параметра распределения. Критическое значение c2(3; 0,05)=7,815 определяется по табл. П.3 приложения. Поскольку соблюдается условие c2<c2(3; 0,05), то полученный результат нельзя считать значимым и гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит ЭД.

Критерий А.Н. Колмогорова

Для применения критерия А.Н. Колмогорова ЭД требуется представить в виде вариационного ряда (ЭД недопустимо объединять в разряды). В качестве меры расхождения между теоретической F(x) и эмпирической Fn(x) функциями распределения непрерывной случайной величины Х используется модуль максимальной разности

А.Н. Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения F(x) величины Х при неограниченном увеличении количества наблюдений n функция распределения случайной величины

асимптотически приближается к функции распределения

.

Иначе говоря, критерий А.Н. Колмогорова характеризует вероятность того, что величина

не будет превосходить параметрlдля любой теоретической функции распределения. Уровень значимости a выбирается из условия

,

в силу предположения, что почти невозможно получить это равенство, когда существует соответствие между функциями F(x) и Fn(x). Критерий А.Н. Колмогорова позволяет проверить согласованность распределений по малым выборкам, он проще критерия хи-квадрат, поэтому его часто применяют на практике. Но требуется учитывать два обстоятельства.

1. В соответствии с условиями его применения необходимо пользоваться следующим соотношением

где

.

2. Условия применения критерия предусматривают, что теоретическая функция распределения известна полностью – известны вид функции и значения ее параметров. На практике параметры обычно неизвестны и оцениваются по ЭД. Но критерий не учитывает уменьшение числа степеней свободы при оценке параметров распределения по исходной выборке. Это приводит к завышению значения вероятности соблюдения нулевой гипотезы, т.е. повышается риск принять в качестве правдоподобной гипотезу, которая плохо согласуется с ЭД (повышается вероятность совершить ошибку второго рода). В качестве меры противодействия такому выводу следует увеличить уровень значимости a, приняв его равным 0,1 – 0,2, что приведет к уменьшению зоны допустимых отклонений.

Критерий Р. Мизеса

В качестве меры различия теоретической функции распределения F(x) и эмпирической Fn(x) по критерию Мизеса (критерию w2) выступает средний квадрат отклонений по всем значениям аргумента x

(3.9)

Статистика критерия

(3.10)

При неограниченном увеличении n существует предельное распределение статистики nwn2. Задав значение вероятности a можно определить критические значения nwn2(a). Проверка гипотезы о законе распределения осуществляется обычным образом: если фактическое значение nwn2 окажется больше критического или равно ему, то согласно критерию Мизеса с уровнем значимости a гипотеза НО о том, что закон распределения генеральной совокупности соответствует F(x), должна быть отвергнута.

Достоинством критерия Мизеса является быстрая сходимость к предельному закону, для этого достаточно не менее 40 наблюдений в области часто используемых на практике больших значений nwn (а не несколько сот, как для критерия хи-квадрат).

Сопоставляя возможности различных критериев, необходимо отметить следующие особенности. Критерий Пирсона устойчив к отдельным случайным ошибкам в ЭД. Однако его применение требует группирования данных по интервалам, выбор которых относительно произволен и подвержен противоречивым рекомендациям. Критерий Колмогорова слабо чувствителен к виду закона распределения и подвержен влиянию помех в исходной выборке, но прост в применении. Критерий Мизеса имеет ряд общих свойств с критерием Колмогорова: оба основаны непосредственно на результатах наблюдения и не требуют построения статистического ряда, что повышает объективность выводов; оба не учитывают уменьшение числа степеней свободы при определении параметров распределения по выборке, а это ведет к риску принятия ошибочной гипотезы. Их предпочтительно применять в тех случаях, когда параметры закона распределения известны априори, например, при проверке датчиков случайных чисел.

При проверке гипотез о законе распределения следует помнить, что слишком хорошее совпадение с выбранным законом распределения может быть обусловлено некачественным экспериментом («подчистка» ЭД) или предвзятой предварительной обработкой результатов (некоторые результаты отбрасываются или округляются).

Выбор критерия проверки гипотезы относительно произволен. Разные критерии могут давать различные выводы о справедливости гипотезы, окончательное заключение в таком случае принимается на основе неформальных соображений. Точно также нет однозначных рекомендаций по выбору уровня значимости.

Рассмотренный подход к проверке гипотез, основанный на применении специальных таблиц критических точек распределения, сложился в эпоху "ручной" обработки ЭД, когда наличие таких таблиц существенно снижало трудоемкость вычислений. В настоящее время математические пакеты включают процедуры вычисления стандартных функций распределений, что позволяет отказаться от использования таблиц, но может потребовать изменения правил проверки. Например, соблюдению гипотезы Н0 соответствует такое значение функции распределения критерия, которое не превышает значение доверительной вероятности 1–a (оценка статистики критерия соответствует доверительному интервалу). В частности, для примера 3.1 значение статистики критерия хи-квадрат равно 1,318. А значение функции распределения хи-квадрат для этого значения аргумента при трех степенях свободы составляет 0,275, что меньше доверительной вероятности 0,95. Следовательно, нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Задание 2

Задача. Рассчитайте среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонения и коэффициенты вариации. Объясните их содержание.

№п/п	Сумма денежнойвыручки, у.е.	Стоимость основных производственных фондоф, тыс. у.е.	Оборотныефонды, тыс. у.е.	Численностьработников,чел.	Площадь сельхоз-угодий, га	Энерге-тическиемощности, л.с.	Покупка кормов,ц	Услуги сельхоз- химии,тыс. у.е.	Услуги агропром-техники, тыс. у.е.
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1310	1544	288	38	510	480	25	-	-
2	1262	1562	322	37	430	410	30	-	6
3	1092	498	304	36	354	342	30	-	6
4	1074	536	330	30	350	340	35	5	-
5	1144	586	354	28	390	370	20	5	-
6	1206	464	318	32	414	390	15	4	5
7	1302	626	370	40	510	400	-	6	5
8	1414	608	340	42	520	426	-	8	5
9	1546	646	388	40	530	430	-	10	-
10	1506	644	374	44	532	440	15	15	-
11	1454	716	410	43	520	410	20	14	4
12	1522	704	424	37	560	504	-	13	4
13	1636	674	390	42	606	640	-	10	-
14	1644	652	396	41	610	710	30	8	-
15	1686	598	384	44	620	678	-	5	5
16	1614	570	348	45	630	540	15	10	5
17	1636	516	306	50	636	550	25	10	6
18	1574	474	290	60	600	614	20	15	6
19	1546	458	286	55	570	600	10	5	8
20	1484	424	310	54	554	410	10	4	8
21	976	406	272	33	320	374	30	4	-
ИТОГО	29628	13906	7204	871	10766	10058	330	151	73
Ср. арифм. отклон	1410,86	662,19	343,1	41,5	512,7	478,9	15,7	7,2	3,5
Ср. квадр.откл.	294,5	302,2	45,2	8,0	96,3	110,7	8,4	3,7	1,9
Vx, %	20,9	45,6	13,2	19,3	18,8	23,1	53,5	51,4	54,3

1. Среднее арифметическое отклонение рассчитываем по формуле: