,
звідки .
Отже, область існування є об’єднання множин .
2. Нехай , тоді . Нехай , тоді . Отже, графік перетинає координатні осі в точці , тобто графік проходить через початок координат.
3. Функція не періодична. Проте вона є непарною, тому розглядатимемо тільки .
4. Чисельником і знаменником є многочлени, неперервні на всій числовій осі. Тому точкою розриву при є тільки одна точка . Дослідимо її характер. Знайдемо односторонні границі
.
Отже, є точка розриву другого роду; пряма є вертикальною асимптотою.
5. Досліджуємо функцію на кінцях проміжків, вона визначена. В точці ми її дослідили, тепер знайдемо
.
6. Обчислимо
.
Розв’яжемо нерівність :
.
Звідси, в інтервалі функція зростає, а в інтервалах - спадає.
7. Знайдемо екстремальні точки. Розв’яжемо рівняння :
,
звідки матимемо стаціонарні точки .
При переході через точку похідна знака не змінює, а при переході через точку - змінює знак “-” на “+”. Тому не є екстремальною точкою, а є точкою мінімуму:
.
8. Знаходимо інтервали вгнутості та опуклості графіка функції
.
Розв’яжемо нерівність :
.
Ця нерівність справджується при . Отже, в інтервалі крива вгнута, а в інтервалі - опукла.
9. Знаходимо точку перегину. Для цього розв’язуємо рівняння :, звідки .
При проходженні через точку похідна змінює знак “+” на “-”. Точка є точка перегину.
10. Знаходимо похилі асимптоти:
;
.
Отже, .
Рівняння похилої асимптоти: .
11. Будуємо графік функції (рис.6.22).
Рис.6.22
4. Гранична корисність і гранична норма заміщення
Основним поняттям теорії споживання є функція корисностіЦя функція виражає міру корисності набору , де кількість товару , а кількість товару Чутливість набору до незначної зміни при фіксованому називається граничною корисністю і визначається як частинна похідна Аналогічно визначається гранична корисність як Частіше всього лінії рівня функції корисності (їх ще називають кривими байдужості) є графіками спадних функцій. Тому будемо вважати, що для точок і розташованих на одній лінії рівня приростів і мають різні знаки (рис.6.23).
Нехай, для визначеності, а В цьому випадку говорять, що одиниць першого товару заміщується на одиниць другого товару (мається на увазі перехід із в ).
Граничною нормою заміщення на в точці називається границя відношення коли точка прямує до залишаючись на одній з лінії рівня функції Гранична норма заміщення позначається або
Нехай дотична до лінії рівня функції в точці Із рис.6. видно, що січна прямує до коли тому
де кут нахилу дотичної Рівняння лінії запишемо у вигляді
або
Рис.6.23 Рис.6.24
Оскільки кутовий коефіцієнт даної прямої то
,
тобто гранична норма заміщення одного товару іншим дорівнює відношенню їх граничних корисностей.
5. Функція попиту
Нехай ціна товару ціна товару дохід споживача. Нагадаємо, що функцією корисності називається функція, що задає міру корисності (для споживача) набору товарів, який складається із одиниць товару і одиниць товару Будемо вважати, що споживач може купувати тільки такі набори , вартість яких не перевищує його доходу, тобто
Означення. Нехай функція корисності при довільних додатних і має на множині єдину точку глобального максимуму Тоді функції від і
Ці функції називаються функціями попиту.
Зміст цього визначення полягає в тому, що споживач прагне до найбільшого задоволення від куплених ним товарів при обмежених доходах.
З геометричної точки зору множина - трикутник з вершинами (рис.6.24 ).
Як правило, функція зростає при збільшення і , тому найбільше її значення досягається на відрізку тобто споживач витрачає на покупки весь свій дохід.
Функції є однорідними функціями нульового виміру. Отже, для диференційованої функції попиту виконуються тотожності Ейлера:
Як правило, графік функції корисності є строго вгнутий. В цьому випадку умови Куна-Таккера дають можливість знайти функцію попиту. Нехай множники Лагранжа, причому відповідає обмеженню нерівності нерівності Тоді функція Лагранжа запишеться так:
Умови Куна-Таккера для функції будуть такими:
Якщо наперед відомо, що функція попиту не перетворюється в нуль, то із четвертого і п’ятого рівнянь системи випливає, що В цьому випадку система буде простішою
Якщо або то із перших двох рівнянь системи випливає, що Але тоді можна виключити із системи. В результаті отримаємо систему рівнянь