Финансовая рента (стр. 3 из 3)
где
- эквивалентная учетная ставка.Из (19), (20) получаем
, (21)где
- эквивалентная номинальная учетная ставка.Каждое выражение в этом равенстве - современная стоимость процентов, выплачиваемых по займу 1 д. е. на протяжении n лет в соответствии с различными способами выплаты процентов.
Аналогичные соотношения можно получить и для коэффициентов наращения рент.
Если полагают, что срок ренты n = ∞, то ренту называют вечной. Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современную величину такой ренты можно найти.
Для обычной вечной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в год получаем при n → ∞:
.Для такой же ренты пренумерандо:
.Кроме того,
.Таким образом,
, 
, 
. (21)Если вечная рента является годовой (p = 1), то имеем:
, 
, 
. (22)Если начало ренты, т.е. начало ее первого периода, переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной. Современная стоимость отсроченной ренты Atопределяется следующим образом. Согласно определению современной стоимости потока платежей,
,где
, 
, 
- дисконтные множители k - го платежа на временных отрезках [0, tk], [t, tk], [0, t] соответственно. Так как 
, то A - стоимость ренты, рассчитанная на момент начала ее первого периода, т.е. на момент начала неотсроченной ренты.Следовательно, A - это современная стоимость неотсроченной ренты.
Таким образом, современная стоимость отсроченной ренты определяется путем дисконтирования по процентной ставке ренты в течение времени t современной стоимости A неотсроченной ренты:
, (23)Рассмотрим зависимость коэффициентов наращения ренты от срока ренты и процентной ставки.
Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числа платежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением процентов 1 раз в год.
Имеем
, 
.Ситуацию можно рассматривать как беспроцентный долг, выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.
Установим зависимость от i коэффициента наращения ренты
. 
.Очевидно,
- возрастающая функция i, что следует из свойств наращенной суммы разового платежа. Действительно, так как 
и 
, то - возрастающая выпуклая функция аргумента i (рис.1).  |
Рис.1.
3) Установим зависимость от i коэффициента дисконтирования ренты
. 
.Очевидно,
- убывающая функция i, что следует из свойств современной стоимости разового платежа. Действительно, так как 
и 
, то - убывающая выпуклая функция аргумента i (рис.2).  |
Рис. 2
Установим зависимость от n коэффициента наращения ренты
. 
, где 
.Так как
и 
, то - возрастающая выпуклая функция аргумента n (рис.3).  |
Рис. 3
Установим зависимость от n коэффициента дисконтирования ренты
. 
,где
.Так как
и 
(вечная рента), то - возрастающая вогнутая функция аргумента n (рис.4).  |
Рис.4
Эти свойства используются в задачах на определение параметров ренты.
Задача.
Раскрой материала.
На раскрой (распил) поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами. Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором суммарная себестоимость минимальна (построить математическую модель в общем виде).
Решение:
Пусть поступает в раскрой m различных материалов.
Требуется изготовить из них k разных комплектующих изделий (комплектов) в количествах, пропорциональных величинам b1, b2,., bk (условия комплектности).
Пусть каждую единицу j-го материала j=1,., m можно раскроить n различными способами, так что при использовании i-го способа раскроя, i=1,., n получим аij единиц k-го изделия.
Нужно определить такой план раскроя материалов, обеспечивающий максимальное количество комплектов, если имеющийся запас j-го материала составляет аj единиц.
Обозначим через xij количество единиц j-го материала, раскраиваемых i-м способом, а через x-общее количество изготавливаемых комплектов.
Математическая модель этой задачи имеет такой вид:
максимизировать x (1)
при условиях
Условие 2 означает ограничение на запас j-го материала, а условие 3 - условие комплектности.
Список используемой литературы
1. Багриновский К. Матюшок В. Экономико-математические метода и модели: Учебник / К. Багриновский, В. Матюшок. - М.: Экономистъ, 1999. - 185с.
2. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учебник / П.П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов. - М.: Гардарики, 2002. - 624с.
3. Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие / Б.Т. Кузнецов. - М.: Экзамен, 2005. - 128с.
4. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. - М.: Дело, 1998. - 304с.
5. Лукашин Ю.П. Финансовая математика: Учебное пособие / Ю.П. Лукашин. - М.: МФПА, 2004. - 81с.
6. Малыхин В.И. Финансовая математика / В.И. Малыхин. - М.: Юнити - Дана, 2003. - 237с.
7. Меньшиков С. Рентабельность и рента / С. Меньшиков // Экономическое стратегии. - 2004. - №1. - с.28-31.
8. Четыркин Е.М. Финансовая математика / Е.М. Четыркин. - 4-е изд. - М.: Дело, 2004. - 400с.