Математическое моделирование экономических процессов на железнодорожном транспорте (стр. 3 из 5)

Х_ij = В_j, j = 1,2,…,n; (2.3)

А_i >

В_j (2.4)

а_i, Х_ij > = 0 для всех значений индексов (2.5)

Ограничения 2.2 и 2.3 называются балансовыми. Они показывают, что вся произведенная продукция по пунктам размещения мощностей должна быть вывезена – ограничение 2.2, а спрос потребителей должен быть полностью удовлетворен – ограничение 2.3. Ограничение 2.5 показывает, что суммарная мощность всех предприятий должна превышать общие потребности. Это весьма важно, поскольку при равенстве задача оптимизации теряет смысл, так как будет иметь место только один вариант решения, при стопроцентной загрузке мощностей. Из ограничений 2.2 и 2.3 следует, что

а =

В.

А из ограничения 2.5:

А >

а.

Ограничение 2.5 называется ограничением неотрицательности переменных.

2.2 Методика решения задачи

Методику решения задач на основе модели 2.2–2.5 рассмотрим на следующем примере. Допустим, имеется три предприятия по производству запасных частей и пять пунктов потребления. Объемы производства будем измерять в тоннах, а затраты в тысячах рублей.

Показатели, характеризующие производственные мощности, имеют следующие значения:

А₁= 500 т; А₂ = 400 т; А₃ = 700 т

З₁= 45 тыс. руб.;З₂ = 49 тыс. руб.; З₃ = 40 тыс. руб.

Потребности в пунктах потребления:

В₁= 350 т; В₂= 320 т; В₃= 190 т; В₄= 270 т; В₅= 230 т.

Затраты на транспортировку одной тонны запасных частей между пунктами производства и потребления представлены в матрице (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Номерапунктов производства i	Номера пунктов потребления j
Номерапунктов производства i	1	2	3	4	5
123	3108	585	4116	797	6134

На основе модели 2.1–.5 применительно к нашему примеру строим матрицу, отражающую особенности решаемой задачи. При этом следует учитывать, что ограничение 2.4 соответствует открытой модели транспортной задачи. В процессе ее решения открытая модель сводится к закрытой за счет искусственной балансировки ресурсов и потребностей. Для этого в модель вводится фиктивный потребитель и ему назначается спрос равный разнице суммарных мощностей и потребностей:

Матрица, отражающая особенности решаемой задачи, принимает следующий вид (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Мощности	Потребности Вj				Фикт. потр.
Аi	В1=350		В2=320		В3=190	В4=270	В5=230	Вф = 240
48	50	49	52	51	0
А1 = 500
59	57	60	58	62	0
А2 = 400
48	45	46	47	44	0
А3 = 700

По строкам матрицы отражены мощности по производству запасных частей. По столбцам отражены потребители и их спрос. В клетках матрицы, в маленьких квадратиках, представлены показатели критерия оптимальности модели – суммарные затраты на производство и транспортировку продукции между предприятиями и потребителями. В столбце фиктивного потребителя показатели критерия оптимальности приравниваются нулю. Объемы перевозок между пунктами производства и потребления, которые находятся в результате решения, помещаются в клетки матрицы.

Сформулированная таким образом задача решается с помощью одного из известных алгоритмов транспортной задачи линейного программирования. Для ручного решения может быть рекомендован так называемый метод потенциалов в матричной постановке [1, 3, 5]. Тем не менее, даже для относительно небольших матриц решение транспортной задачи вручную весьма трудоемко. Рекомендуется использовать для этой цели средство EXCEL «Поиск решения».

Рассмотрим технологию использования «Поиска решения» на рассматриваемом примере.

Вначале вводятся исходные данные (рис. 9).

Рис. 9

На рисунке 9 в поле с единицами располагаются изменяемые ячейки. В ячейке целевой функции содержится формула суммы произведений матрицы изменяемых ячеек на матрицу затрат.

Далее заполняется окно Поиск решения по пунктам, рассмотренным в части 1. При этом следует учитывать, что при вводе ограничений должны быть введены равенства содержимого ячеек первых столбцов и верхней и нижней строк таблиц, представленных на рисунке 10 (балансовые ограничения транспортной задачи).

Рис. 10

После ввода параметров и нажатия кнопки «выполнить» получаем решение, которое представлено в матрице изменяемых ячеек на рис. 10.

В целевой ячейке записывается величина целевой функции – функционал.

Для наглядности переносим результат решения в клетки матрицы (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Мощности	Потребности В_j								Фикт. потр.
А_i	В₁= 350		В₂= 320		В₃= 190		В₄= 270	В₅= 230	В_ф= 240
48	50	49	52	51	0
А₁= 500	350	0	150	0	0
59	57	60	58	62	0
А₂= 400	0	0	0	160	0	240
48	45	46	47	44	0
А₃= 700	0	230	130	110	230	0

Анализ результатов решения показывает следующее. Предприятие А₁ отправляет реальным потребителям В₁ и В₃ соответственно по 350 и 150 т запасных частей, что в сумме составляет 500 т. Иначе говоря, мощности предприятия А₁ полностью вошли в оптимальный план. Следовательно загрузка мощностей этого предприятия а₁ равна также 500 т, то есть 100 %. То же самое имеет место для предприятия А₃. Предприятие А₂ реальному потребителю В₄ отправляет 160 т продукции. Оставшиеся мощности 240 т, как видно из табл. 2.3, приходятся на фиктивный потребитель. Это говорит о том, что мощности А₂ востребованы не полностью. Следовательно, загрузка А₂ составляет 160 т, то есть 40 %.

Из рис. 2.3. видно, что функционал, то есть суммарные производственные и транспортные затраты, составляет 65050 тыс. руб. Из них производственная составляющая – первый член целевой функции (формула 2.1) – равна 53340 тыс. руб., на транспортную составляющую приходится соответственно 11710 тыс. руб., или 18 %. Высокий удельный вес транспортной составляющей – свыше 5 % – свидетельствует о том, что транспортный фактор оказывает существенное значение на загрузку производственных мощностей для рассматриваемого примера.

2.3 Исходные данные

Исходная информация для решения задачи включает в себя показатели, входящие в модель 2.1–2.5. Среди них можно выделить три группы исходных данных.

Первая группа – это показатели производственных мощностей по пунктам их размещения. К ним относятся собственно мощности предприятий по производству запасных частей – А_i и удельные затраты на производство – З_i. Мощности предприятий приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Ai	Мощности по производству запасных частей в тоннах по вариантам
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A1	490	500	550	670	1000	450	670	540	640	570
A2	380	350	690	500	390	600	300	760	290	930
A3	600	640	370	850	740	840	880	580	850	810
A4	750	850	950	450	600	760	490	670	700	350
A5	800	700	450	620	520	620	750	450	580	490

Удельные затраты на производство рассчитываются по формуле:

(тыс. руб.). (2.6)

Вторая группа показателей – это потребности в запасных частях по пунктам размещения потребителей в тоннах – В_j. Эти данные по вариантам приведены в табл. 2.5.

Третья группа показателей – это затраты на транспортировку запасных частей между пунктами производства и потребления на рассматриваемом полигоне железнодорожной сети. Полигон железнодорожной сети представлен табл. 2.6. Применительно к заданному полигону по вариантам задаются номера узлов железнодорожной сети, в которых размещены предприятия по производству запасных частей (индексы i), и номера узлов, в которых размещены потребители запасных частей (индексы j) (табл. 2.7).

Расчет минимальных транспортных затрат между пунктами производства и потребления осуществляется по формуле:

(тыс. руб.), (2.7)

где е – расходная ставка на 10 ткм. Для рассматриваемого рода груза принимается равной 80 руб.; L – минимальное расстояние, рассчитываемое для заданного полигона между пунктами производства и потребления, км.

Таблица 2.5

Пункты потребления j	Потребности пунктов потребления по вариантам (т)
Пункты потребления j	1	2	3	4	5	6
1	470	540	240	390	480	460
2	330	290	430	600	340	840
3	560	420	620	350	560	430
4	610	600	320	780	500	590
5	220	310	790	620	700	300
6	650	460	600	370	210	450
7	490	720	400	410	520	510
8	670	860	610	650	670	680
9	700	450	730	720	790	520
10	460	300	540	300	460	400

Таблица 2.6