Применение линейного программирования для решения экономических задач (оптимизация прибыли) (стр. 2 из 5)

Графический метод довольно прост и нагляден. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений задачи. Каждое из неравенств задачи ЛП определяет на координатной плоскости

некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлен выпуклым многоугольником, неограниченным выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом и т.д. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством.

При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи, существует бесконечное множество решений (альтернативный оптимум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений– единственная точка; задача не имеет решений. [3 c.55-57]

Любая задача линейного программирования, независимо от вида записи, может быть приведена к стандартной и канонической форме и решена симплексным методом, который в определенном смысле является универсальным методом ЛП. Алгоритм симплекс-метода носит итерационный характер.

Симплекс-метод позволяет переходить от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают. Алгоритмы симплекс-метода позволяют также установить, является ли задача ЛП разрешимой.

Переход от одного базиса к другому позволяет находить решения почти всех задач ЛП. Определив все крайние точки, можно вычислить значения целевой функции и найти оптимальное решение. Однако для больших значений m и n это практически невозможно. [1 c.15]

Алгоритм решения задачи ЛП табличным симплексом-методом состоит из следующих этапов:

1. рассчитывают и заполняют начальную симплекс-таблицу с допустимым единичным базисом, включая индексную строку.

2. находят разрешающий столбец;

3. находят разрешающую строку;

4. рассчитывают методом Жордано-Гаусса все параметры матрицы;

5. анализируют полученные данные в индексной строке.

Таблицы симплекс-метода необходимо строить до тех пор, пока не будет получен оптимальный план. План будет считаться оптимальным, если в последней индексной строке симплекс-таблицы будут только нули и положительные числа. [1 c.20-22]

При построении симплексного метода предполагалось, что все опорные планы невырожденные, что обеспечивало получение оптимального плана за конечное количество шагов. В случае вырожденного плана вычисления производят аналогично, но в этом случае возможен возврат к старому базису, что приводи к так называемому зацикливанию.

Метод искусственного базисаприменяется при наличии в ограничении знаков “равно”, “больше либо равно”, “меньше либо равно” и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами m, а в задачи минимизации - с положительными m. Таким образом, из исходной получается новая m - задача.

Если в оптимальном решении m - задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении m - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

В основу модифицированного симплекс – метода положены такие особенности линейной алгебры, которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы.

В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта. Хорош для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.

В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс-разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана-Гаусса.

Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и вспомогательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.

Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу, называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Сопоставляя формы записи прямой и двойственной задач, можно установить между ними следующие взаимосвязи:

1. если прямая задача является задачей максимизации, то двойственная будет задачей минимизации, и наоборот;

2. коэффициенты целевой функции прямой задачи становятся свободными членами ограничений двойственной задачи;

3. свободные члены ограничений прямой задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи;

4. матрица ограничений двойственной задачи получается путем транспортирования матрицы ограничений прямой задачи;

5. знаки неравенств в ограничениях изменяются на противоположные;

6. число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной задачи, и наоборот.

Виды математических моделей двойственных задач могут быть представлены в таблице (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Виды математических моделей двойственных задач

Исходная задача	Двойственная задача
Несимметричные задачи
Симметричные задачи

Таким образом, прежде чем записать двойственную задачу для данной исходной, систему ограничений исходной задачи необходимо привести к соответствующему виду. [3, с.114-115]

Если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем для экстремальных значений линейных функций выполняется определенное соотношение (формула 1.10). Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения.

(1.10)

Если прямая (а значит, и двойственная) задача разрешима, то в каждой паре двойственных условий одно является свободным, а другое закрепленным. Любое из условий называется свободным, если оно выполняется как строгое неравенство хотябы для одного оптимального вектора. Условие называется закрепленным, если оно выполняется как равенство для всех оптимальных векторов.

Двойственную задачу выгоднее решать, чем прямую, если в прямой задаче при малом количестве переменных имеется большое количество ограничений. [2, c 70-71]

Симплексный метод позволяет наряду с получением решения прямой задачи получать и решение двойственной задачи. Этот результат и лежит в основе двойственного симплексного метода решения задачи. Суть метода состоит в таком последовательном переборе угловых точек допустимого множества Q₀двойственной задачи, при котором значение целевой функции возрастает, т. е. в применении симплексного метода к решению двойственной задачи. Будем предполагать, что задача невырождена, т. е. каждой угловой точке множества Q₀соответствует квадратная невырожденная система уравнений размерности m, матрицу которую и называют двойственным базисом прямой задачи. Вместе с тем двойственный симплекс–метод можно применять при решении задачи линейного программирования, свободные члены системы уравнений которой могут быть любыми числами (при решении задачи симплексным методом эти числа предполагались неотрицательными).

Отыскание решения задачи двойственным симплекс-методом включает в себя следующие этапы:

1. Находят псевдоплан задачи.

2. Проверяют этот псевдоплан на оптимальность. Если псевдоплан оптимален, то найдено решение задачи. В противном случае либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому псевдоплану.

3. Выбирают разрешающую строку с помощью определения наибольшего по абсолютной величине отрицательного числа столбца вектора Р₀ и разрешающий столбец с помощью нахождения наименьшего по абсолютной величине отношения элементов (m+1)–и строки к соответствующим отрицательным элементам разрешающей строки.

4. Находят новый псевдоплан и повторяют все действия начиная со второго этапа.

Двойственный симплексный метод называют также методом последовательного уточнения оценок, поскольку угловые точки задачи, возникающие при итерациях, можно рассматривать как приближенные значения точной оценки у*, т. е. как приближенные оценки влияния условий задачи на величину минимума целевой функции. [2, c.87-92]