Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений и процессов (стр. 2 из 3)

, (17)

где n-2 - число степеней свободы при заданном уровне значимости a и объеме выборки n.

Вычисленное значение t_r^фсравнивается с критическим t_k, которое берется из таблицы Стьюдента с учетом заданного уровня значимости a и числа степеней свободы k = n - 2.

Если t_r^ф > t_k, то это свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции r и существенности связи между признаком-фактором и признаком-результатом.

Поскольку не все фактические значения результативного признака лежат на линии регрессии, более справедливо для записи уравнения корреляционной зависимости воспользоваться следующей формулой:

, (18)

где e - отражает случайную составляющую вариации результативного признака.

В некоторых случаях рассеяние точек корреляционного поля настолько велико, что для принятия решений в управлении не целесообразно пользоваться уравнением регрессии, так как погрешность в оценке анализируемого показателя будет чрезвычайно велика. Для всей совокупности наблюдаемых значений рассчитывается средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии, которая представляет собой среднее квадратическое отклонение фактических значений результативного признака у относительно значений, рассчитанных по уравнению регрессии у_х:

. (19)

Среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии S_e сравнивают со средним квадратическим отклонением результативного признака s_у. Если S_e < s_у, то использование уравнения регрессии в статистическом анализе является целесообразным.

Таким образом, опираясь на оценку существенности параметров уравнения регрессии и значений линейного коэффициента корреляции, а также на основании оценки надежности уравнения регрессии, дают заключение об адекватности построенной регрессионной модели и возможности распространения выводов, полученных по результатам малой выборки на всю генеральную совокупность.

После проверки адекватности, установления точности и надежности регрессионной модели необходимо ее проанализировать, т.е. дать экономическую интерпретацию параметров регрессии.

Для уравнения парной линейной зависимости прежде всего необходимо проверить согласуется ли знак параметра а₁ с теоретическими представлениями и соображениями о направлении влияния признака-фактора на результативный признак. Для удобства интерпретации параметра а₁ следует использовать коэффициент эластичности:

. (20)

Коэффициент эластичности показывает среднее изменение результативного признака при изменении факторного признака на 1% и вычисляется в% -ах.

Уравнение регрессионной зависимости является базой для расчета прогнозных значений результативного признака, стоящих за пределами изучаемого ряда. Для осуществления прогноза значений результативного признака по уравнению регрессии используют не дискретные (точечные), а интервальные оценки.

Средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии дает возможность в каждом отдельном случае с определенной вероятностью указать, что величина результативного признака расположена в определенном интервале относительно значения, вычисленного по уравнению регрессии.

Зная дисперсию результативного показателя у и задаваясь уровнем доверительной вероятности, определяют доверительные границы прогнозного значения результативного признака у_{прогноз} при значении факторного признака х_о по формуле:

, (21)

где у_хо - дискретная (точечная) оценка прогнозного значения результативного признака у, рассчитанная по уравнению регрессии, при заданном значении факторного признака х_о;

t_a - критерий Стьюдента, который для линейной зависимости определяется в соответствии с уровнем значимости a по распределению Стьюдента с k = n- 2 степенями свободы;

При практическом использовании уравнения регрессии следует помнить, что экстраполяция, т.е. нахождение прогнозируемых уровней за пределами изучаемого ряда, допускается только тогда, когда существенно не изменяются условия формирования уровней признаков, которые лежат в основе определения параметров уравнения регрессии. В противном случае использование уравнений для составления прогнозов должно быть отвергнуто.

2. Пример выполнения лабораторной работы

2.1 Задание на лабораторную работу

На основе ранжированных данных о производительности труда и стаже работы двадцати рабочих бригады (таблица) необходимо:

2.1 Установить результативный и факторный признаки.

2.2 Определить наличие и форму корреляционной связи между производительностью труда рабочих бригады и стажем работы.

2.3 Построить на графике поле корреляции и эмпирическую линию корреляционной связи.

2.4 Построить регрессионную модель парной корреляционной зависимости и определить её параметры.

2.5 Построить на графике теоретическую кривую корреляционной зависимости.

2.6 Рассчитать показатели тесноты связи между выработкой рабочего и стажем работы. Дать качественную оценку степени тесноты связи.

2.7 Оценить существенность параметров регрессивной модели и показателей тесноты связи. Дать оценку надёжности уравнения регрессии.

2.8 Дать экспериментальную интерпретацию параметров построенной регрессионной модели.

2.9 На основании регрессионной модели парной зависимости указать доверительные границы, в которых будет находиться прогнозное значение уровня производительности труда рабочего бригады, если стаж его работы составит 10,5 лет при уровне доверительной вероятности 95%.

Решение:

Установим результативный и факторный признаки: результативный признак (y) - выработка, факторный (x) - стаж работы, лет.

Определим наличие и форму корреляционной связи между производительностью труда рабочих бригады и стажем работы. Так как увеличение значений признака-фактора влечёт за собой увеличение величины результативного признака. То можно предположить наличие прямой корреляционной связи между выработкой и стажем работы. Проведём группировку работников бригады по признаку-фактору - стажу работы. Результаты оформим в таблицу 2. Сравнив средние значения результативного признака по группам, можно сделать вывод о наличии связи между выработкой и стажем работы. Причём она будет являться прямой, так как рост значений признака фактора влечёт рост средних значений признака результата.

Построим поле корреляции.

Рисунок 1. Поле корреляции

Построим регрессионную модель парной корреляционной зависимости и определим её параметры:

- уравнение парной линейной корреляционной зависимости (регрессионная модель).

→ , →

Таблица 2 - Расчётная таблица.

8	800	6400	640000	64	789,02	-1,95	3,8025	152,5	23256,25	10,98	120,56
8	850	6800	722500	64	102,5	10506,25	60,98	3718,56
8	720	5760	518400	64	232,5	54056,25	-69,02	4763,76
9	850	1650	722500	81	872,86	-0,95	0,9025	102,5	10506,25	-22,86	622,57
9	800	7200	640000	81	-152,5	23256,3	-72,86	5308,57
9	880	7920	774400	81	-72,5	5256,25	7,14	50,98
9	950	8550	902500	81	2,5	6,25	77,14	5950,57
9	820	7380	672400	81	-132,5	17556,25	-52,86	2794,17
10	900	9000	810000	100	956,7	0,05	0,0025	-52,5	2756,25	-56,7	3114,89
10	1000	10000	1000000	100	47,5	2256,25	43,3	1874,89
10	920	9200	846400	100	-32,5	1056,25	-36,7	1346,89
10	1060	10600	1123600	100	107,5	11556,25	103,3	10670,89
10	950	9500	902500	100	2,5	6,25	-6,7	44,89
11	900	9900	810000	121	1040,54	1,05	1,1025	-52,5	2756,25	-140,54	975,15
11	1200	13200	1440000	121	247,5	61256,25	159,46	25421, 19
11	1150	12650	1322500	121	197,5	39006,5	109,46	11981,49
11	1000	11000	1000000	121	47,5	2256,25	-40,54	1643,49
12	1200	14400	1440000	144	1124,38	2,05	4, 2025	247,5	6156,25	75,62	5718,38
12	1100	13200	1210000	144	147,5	21756,25	-24,38	594,38
12	1000	12000	1000000	144	47,5	2256,25	-124,38	5470,38
199	19050	192310	2013	19050,16	32,95	358275	12969,33

Найдём среднее произведение факторного и результативного признака по формуле (8):