Экономико–математические методы в управлении (стр. 2 из 2)
92 и 22 в сумме составляют 85:
85 – 5Z = (x1 – 9)2 + (x2 – 2)2
В результате получилась формула, позволяющая графически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X1OX2. Данные линии уровня представляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Данная точка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.
Для определения характера экстремума нужно провести анализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимо определить вторые частные производные и составить из них матрицу:
 |  |
Z”x1x1 Z”x1x2 = -0.4 0
Z”x2x1 Z”x2x2 0 -0.4
Определим знаки главных миноров данной матрицы.
Главный минор первого порядка -0.4 < 0.
Главный минор второго порядка 0.16 > 0.
Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z - строго вогнута. Экстремум вогнутых функций – max, следовательно в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.
Для построения области допустимых значений преобразуем второе неравенство системы ограничений:
x12 – 10x1 + x2 ≤ 75
x12 – 10x1 + 25 + x2 ≤ 100
(x1 – 5)2 + x2 ≤ 100
(x1 – 5)2 ≤ 100 – x2
Уравнение (x1 – 5)2 = 100 – x2 выразим через переменные x1* и x2*:
x1* = x1 – 5x2* = 100 – x2
Уравнение примет вид: x1*2 = x2*.
В системе координат X1*O*X2* данное уравнение является каноническим уравнением параболы.
На рисунке область допустимых значений – ограниченная часть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютного максимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функция принимает максимальное значение в этой точке:
max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17
Задание 3.1
После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:
1) требуется профилактический ремонт;
2) требуется замена отдельных деталей и узлов;
3) требуется капитальный ремонт.
В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:
1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;
2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;
3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.
Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:
а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;
б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
| П1 | П2 | П3 | |
| a | 13 | 9 | 15 |
| b | 20 | 12 | 11 |
| c | 18 | 10 | 14 |
| q | 0.3 | 0.45 | 0.25 |
λ = 0.7
Составим платёжную матрицу, в которой Пj – состояния оборудования, Аi – альтернативы принятия решений:
| П1 | П2 | П3 | |
| А1 | -13 | -9 | -15 |
| А2 | -20 | -12 | -11 |
| А3 | -18 | -10 | -14 |
Для принятия оптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б). критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
а). на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q1 = 0.3; q2 = 0.45; q3 = 0.25
Критерий Байеса.
Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `ai = ∑aij×qj
`a1 = -11.7 `a2 = -14.15 `a3 = -13.4
| П1 | П2 | П3 | `ai | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -11.7 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -14.15 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -13.4 |
| qj | 0.3 | 0.45 | 0.25 |
Из средних выигрышей выбираем максимальный: max ai = `a1 = -11.7 – первая альтернатива оптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборе решения по критерию Байеса.
б). имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
Критерий Лапласа.
Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `ai = 1/3∑aij
`a1 = -12.3 `a2 = -14.3 `a3 = -14
| П1 | П2 | П3 | `ai | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -12.3 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -14.3 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -14 |
Из средних выигрышей выбираем максимальный: max ai = `a1 = -12.3 – первая альтернатива оптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решения по критерию Лапласа.
в). о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
Критерий Вальда.
Для каждой альтернативы определим наихудший исход. di – минимальный элемент строки. Из наихудших исходов выбираем наилучший, т.е. максимальный di.
| П1 | П2 | П3 | di | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -15 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -20 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -18 |
max di = d1 = -15 – первая альтернатива оптимальна по критерию Вальда.
Критерий Сэвиджа.
Для каждого столбца находим максимальный элемент βj.
| П1 | П2 | П3 | |
| А1 | -13 | -9 | -15 |
| А2 | -20 | -12 | -11 |
| А3 | -18 | -10 | -14 |
| βj | -13 | -9 | -11 |
Построим матрицу рисков, элементы которой: rij = βj - aij
| max ri | |||
| 0 | 0 | 4 | 4 |
| 7 | 3 | 0 | 7 |
| 5 | 1 | 3 | 5 |
В матрице рисков в каждой строке найдём максимальный риск, и из них выберем минимальный: min r = r1 = 4 – первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.
Критерий Гурвица.
Для каждой строки находим минимальный di и максимальный βj.
| П1 | П2 | П3 | di | βj | χi | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -15 | -9 | -13.2 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -20 | -11 | -17.3 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -18 | -10 | -15.6 |
χi = λ × di + (1 – λ) × βj λ = 0.7
Максимальный из элементов последнего столбца: max χi = χ1 = -13.2 – первая альтернатива оптимальна по критерию Гурвица.